相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。ブログの先頭に戻るには表題のロゴをクリックしてください

問題9,10

 現在2020年6月19日19時09分である。

麻友「えっ、問題出されたのって、半年くらい前じゃない?」

私「正確には、4カ月前」

若菜「はっきりいって、出された問題、忘れました」

結弦「僕も、忘れちゃった」

私「実は、私自身、どんな問題だったか、忘れていた。問題を出したことだけ、覚えていた」

若菜「全員、大ボケこいているのに、改めて続けるのですか?」

私「問題を解くというのは、色々な意味で、必要なことなんだ。出した問題を、コピーアンドペーストして、持って来たよ」



 問題7.

 次の計算をした結果として正しいものを,それぞれあとの1~4の中から1つ選び、その番号を答えなさい。


{\displaystyle \sqrt{28}+\frac{49}{\sqrt{7}}}


1.{8 \sqrt{7}}   2.{9 \sqrt{7}}   3.{10 \sqrt{7}}   4.{11 \sqrt{7}}

    (2020年神奈川県公立高校入試 共通問題 数学より問1(ウ)から採用)



 問題8.

 麻友さんのありったけの知識を総動員して、インターネットや本を見ずに、地球の重さが何キログラムくらいか、推計せよ。(もの凄く大雑把で良い)



麻友「ああ、今年の高校入試問題だったわね」

若菜「私、解けたのに」

結弦「ルートラッキー7だったんだね」


私「さて、麻友さん。問題7.解けるか?」

麻友「証明はできないけど、こうやるのよね」

{\sqrt{28}=\sqrt{2 \times 2 \times 7} = 2 \sqrt{7}}

麻友「そして、分母の有理化」

{\displaystyle \frac{49}{\sqrt{7}}=\frac{49 \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}}=\frac{49 \times \sqrt{7}}{7}=\frac{7 \times 7 \times \sqrt{7}}{7}=7 \times \sqrt{7}}

麻友「これ、私の限界に近いくらい大変な、式変形よ。いつもの太郎さんの説明って、これの10倍くらい省略した説明よね。ついていけるわけないわ」

若菜「そうすると、答えは、・・・」

麻友「これも、証明できないけど、こうやるの」

{\displaystyle \sqrt{28}+\frac{49}{\sqrt{7}}=2 \times \sqrt{7} + 7 \times \sqrt{7} = 9 \times \sqrt{7} = 9 \sqrt{7}}

麻友「だから、マークすべきは、{2.}よ」


私「そうねえ。高校出ましたっていってても、このくらいの数学しかできない人、多いんだろうなあ」

結弦「使ってないと、忘れる、というのも、あるだろうしなあ」

若菜「私は、習ったばかりだから、お母さんが、証明できなかった部分、なんとかできるかも」

麻友「どうやるの?」

若菜「この部分、

{\sqrt{28}=\sqrt{2 \times 2 \times 7} = 2 \sqrt{7}}

正しいことを、証明したければ、左辺と右辺を、2乗しちゃえば、いいのよ。

{(\sqrt{28})^2 = (2 \sqrt{7})^2}

で、辺ぺん計算して、

{28 = 4 \times 7}

だから、等号が成り立つ」

麻友「省略多いー」

私「省略が、多いだけでなく、ちょっと問題がある。若菜は、2乗したもの同士が、等しければ、2乗する前のものも等しいという前提をおいている」

若菜「あちゃー、お父さんの前で、証明するのは、恐い。ルートというのは、2乗して、その数になるもののうち、正のものの方、という定義が、あるのでしたね」

結弦「ルートだけで、諸説紛々。お父さん、『数Ⅲ方式ガロアの理論』で、ルートをハードに使うから、足慣らしさせてるんだな」


麻友「これは、後でゆっくり、自分で、考えるわ。それより、地球の重さが、何キログラムくらいか、推計せよ、という問題が、問題8.だったわね」

私「インターネットや、本を見ずに、麻友さんのありったけの知識を総動員して、推計せよ、としたんだ」

麻友「地球の大きさって、半径、どれくらいなんだっけ?」

私「インターネットは使って駄目だけど、計算機だけは、使って良いとする」

麻友「地球の大きさ。光が1秒間に、7周り半なのは、知ってる。だから、秒速30万キロの光が、7回り半だから、30割る7.5で、4だわ。つまり、4万キロなのよ。一周」

私「そうすると、直径は?」

麻友「直径かける3.14が、円周なのよ。だから、4万キロを、3.14で、割ると、直径になる」

麻友「40000割る3.14は、12738.85くらい。直径が、1万2千キロくらいだわ」

私「そうすると、もう体積が求まるんじゃないか?」

麻友「あっ、球の体積は、『身の上に心配あ~る』で、{\displaystyle \frac{4}{3} \pi r^3} だった。体積だから、3乗を忘れないようにと、習った」

麻友「そうすると、直径が、1万2千キロだから、半径は、6千キロ。計算が合っているとして、地球の体積を、{\mathrm{V}} とすると、

{\displaystyle \mathrm{V}= \frac{4}{3} \pi (6000 \mathrm{km})^3 =\frac{4}{3} \times 3.14 \times (6000 \mathrm{km})^3 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (6 \times 10^3)^3 \mathrm{km^3}}
{\displaystyle =\frac{4}{3} \times 3.14 \times 6^3 \times 10^9 \mathrm{km^3}}

で、{1 \mathrm{km}=10^3 \mathrm{m}} だから、

{\displaystyle \frac{4}{3} \times 3.14 \times 6^3 =904.32 \cdots }

と、計算して、{904} かける{{10^9 \times (10^3)^3}=10^{18}} となって、体積は、{904} かける {10^{18}} 立法メートルくらいかな? つまり、{904 \times 10^{18} \mathrm{m^3}} くらいね」

私「{904} を、{9.04} になおすと?」

麻友「{904}を、{100} で割るんだから、その分、{10^{18}}{100} をかけて、{9.04 \times 10^{20} \mathrm{m^3}} 。大きいわね。{0}{20} 個」

私「実際には、{9.04} をかけるのだから、大体 {10^{21} \mathrm{m^3}} くらいになる」

麻友「{\mathrm{V}= 10^{21} \mathrm{m^3}}

ということか」


私「体積は、求まった。だけど、問題は、重さだ」

麻友「地球の密度って、えっ、ネットで調べちゃ、駄目?」

私「そこを、どうするか、見たいんじゃない」

麻友「地球は、水の惑星だったわね。水の密度って、1だけど、あっ、密度が1より大きいものは、ある。でも、1より大きいものって、どれくらいあるんだろう。私の知識じゃ無理だ。じゃあ、取り敢えず、平均したら、密度が2くらいだとしてみよう。1リットルの牛乳パックが、1キログラム。つまり、{0.1}メートルかける{0.1}メートルかける{0.1}メートルが、1リットルで、1キログラムなんだった。前、『力学』のブログで、蛹沢不動滝のとき、これで失敗したから、注意深く計算しよう。{0.001}立方メートルが、1キログラムだ。そうすると、1立方メートルが、{1000}キログラムだ」

私「求められる?」

麻友「やってみる。地球は、{\mathrm{V}= 10^{21} \mathrm{m^3}} だったのよね。だから、重さは、{1000 \mathrm{kg}} をかけて、{10^{21} \times 10^3 =10^{24} \mathrm{kg}} となった。{10^{24}}って、なんという単位?」

私「自分流で、読んでみて」

麻友「{10^{12}} が、1兆よね。1兆の1兆倍キログラム。あっ、密度を、2とするんだった。2兆の1兆倍キログラム。これが、限界よ。


問題7.の答え {2 \times 10^{24}}キログラム({2 \times 10^{24} \mathrm{kg}}


で、どうよ」


私「良くできてる。地球の密度を、1でなく2にしたのは、良い勘してる」

麻友「本当の密度は?」


私「じゃあ、ネット使って良いから、地球の密度、確認してごらん」

麻友「Googleで、『地球の密度』カチャカチャ、あっ、{5.51 \mathrm{g/cm^3}} 。2より大きいんだ。私の2より、3倍くらいある」

私「地球の重さも、調べてごらん?」

麻友「Yahooで、『地球の重さは?』カチャカチャ。あっ、{5.972 \times 10^{24} \mathrm{kg}} 。私の答え、本当の重さの3分の1くらいだったわね」

私「十分だよ。『もの凄く大雑把で良い』と、問題文にあったでしょう」

麻友「でも、地球の体積が、大体 {10^{21} \mathrm{m^3}} っていうのは、かなり良い線行ってたということね。密度が5.51で、重さが5.972ということは」

私「その通りだよ」


麻友「じゃあ、今回の問題の、太郎さんの模範解答は?」

私「私には、麻友さんより、知っているものがあって、

{\mathrm{G}=6.674 \times 10^{-11} \mathrm{m^3 kg^{-1} s^{-2}}}

という定数を、知っているんだ」

若菜「まさか、万有引力定数じゃ」

私「良く知ってるな」

麻友「昔、藤居君が、『万有引力定数って、地上で測れるくらいなんだよな』って、言ったとかドラえもんのブログの『たのしい算数』という記事で、書いてたけど、太郎さん、今測ったの?」

私「さすがに、ここでは、できない。ただ、上野の国立科学博物館では、それを、実験できるように、なってる」

結弦「お父さん、やってみたの?」

私「すばる望遠鏡の写真を見たときと、はやぶさのときと、2回行ってるのだが、結構、重りに働く加速度を、読み取りにくくて、最後まで見ていたことが、ないんだ。麻友さん、今度一緒に行って、測ってみない?」

麻友「恐ろしいものが、あるのね。それで、{\mathrm{G}} が、分かると?」

私「麻友さんは、万有引力の法則というものを、ちゃんとは知らないだろうけど、こういうものなんだ。距離が互いに、{r ・ \mathrm{m}} 離れたところに、片方は、{M ・ \mathrm{kg}}、もう片方は、{m・ \mathrm{kg}} の重さの物体があったとすると、それらの間に、

{\displaystyle F=\mathrm{G}\frac{Mm}{r^2}}

の大きさの引力が、働くというものなんだ」

結弦「いきなり、万有引力の法則なんて」

若菜「距離と重さから、力が、分かるんですか。それで、力って、何でしたっけ?」


私「そう来ると、思った。力って、簡単に、定義できるものじゃ、ないんだ。だけどね、今から350年くらい前、ニュートンは、

『重さが、{1 \mathrm{kg}} の物体が、地上の重力加速度 {g=9.8 \mathrm{m/s^2}} で、落ちているときは、{9.8 \mathrm{N}} という力が働いているものと、見よう』

と、考えたんだ。そうすると、色々なものの動きが、上手く説明できるということなんだね。{9.8 \mathrm{N}}{\mathrm{N}} は、ニュートンという単位になった」

麻友「わあ、物理って、最初に良いことを思い付いたもの勝ちね」

私「それは、確かにそう。でも、あらかじめもの凄く知ってないと、発見もできない」

若菜「一応、力がそういうものとして、地球の重さは?」


私「万有引力の法則で、

{\displaystyle F=\mathrm{G}\frac{Mm}{r^2}}

の力が、働く。ここで、{M} を、地球の重さとしてみる」

麻友「もしかして、距離 {r} を、地球の半径とする?」

私「そうすると、どうなる?」

麻友「そうすると、力 {F} を測りたいんだけど、重さ {m} のものは、地上で、重力加速度という、数式で書くと、{g=9.8 \mathrm{m s^{-2}}} という加速をする」

結弦「長さの単位のメートル({\mathrm{m}}) と、重さがエム({m \mathrm{kg}}) というので、両方アルファベットの小文字のエムを、使うから、間違わない?」

私「それは、私でも、今でも間違う。一応、物理定数や単位の文字は、立体のフォントで、{\mathrm{G}}ジー)や、{\mathrm{m}}(メートル)などと書き、重さなどの変数は、斜体のフォントで、質量 {m \mathrm{kg}}(エムキログラム)、などと書き分けている。しかし、手書きだと、間違えることもある。だから、私は、計算するとき、単位はあまり拘らずに、計算して、後で確かめる。斜体の文字の変数のエムと、メートルは、計算で、気分が乗っているときは、あまり間違わない。その文字が、何を表しているか、分かっているから」

結弦「なるほどね。一応、区別してるんだ」

麻友「分かった。重さ {m} のものは、{mg} の力を受けているってことに、ならない? 例えば、 {m=1 \mathrm{kg}} のものは、 {mg=1 \mathrm{kg} \times 9.8 \mathrm{m s^{-2}}=9.8\mathrm{kgms^{-2}}} という加速をするのだから、これで、いい」

結弦「式で書くっていうことは、意味がある。

{\displaystyle mg=\mathrm{G}\frac{Mm}{r^2}}

ということだから、両辺 {m} で、割れる」

{\displaystyle g=\mathrm{G}\frac{M}{r^2}}

結弦「だけど、{g} は、{9.8} と分かってて、お母さんが、{r} を、地球の半径6000キロにするって言ってて、{\mathrm{G}} は、お父さんが、{6.674 \times 10^{-11}} だって記憶にあるという。そうすると、残った {M} が、求まるではないか」

若菜「計算してみる。

{\displaystyle 9.8 \mathrm{m s^{-2}} = 6.674 \times 10^{-11} \mathrm{m^3 kg^{-1} s^{-2}} \frac{M}{(6 \times 10^3 \mathrm{km})^2}}

だから、ややこしい地球の半径の2乗だけ、先に計算しよう。{1\mathrm{km}=10^3 \mathrm{m}} だから、

{(6 \times 10^3 \mathrm{km})^2=36 \times (10^3 \times 10^3)^2=36 \times 10^{12}} だ。これを、代入して、

{\displaystyle 9.8 \mathrm{m s^{-2}} = 6.674 \times 10^{-11} \mathrm{m^3 kg^{-1} s^{-2}} \frac{M}{(36 \times 10^{12} \mathrm{m^2})}}

となる」

結弦「あっ、そういうことか」

麻友「どうしたの?」

結弦「お父さんが、単位をあまり気にしないって、こういうことか」

若菜「この場合どういうこと?」

結弦「最後の式で、左辺はメートルの1乗と、秒のマイナス2乗でしょ。一方右辺は、メートルの3乗とキログラムのマイナス1乗と秒のマイナス2乗と、{M} の単位が分からなくて、最後にメートルのマイナス2乗でしょ。揃えると、右辺は、メートルの1乗とキログラムのマイナス1乗と秒のマイナス2乗と{M} だ」

結弦「メートルの1乗と秒のマイナス2乗は、両辺にあるから、割り算できる。結局 {1=\mathrm{kg}^{-1} \times M} だから、{M} の単位は、{\mathrm{kg}} なんだよ。だから、後は、数字だけ計算ミスしないように、計算機で計算すればいいんだ」

私「ここまで、綺麗に行ったのは、私の人生でも、初めてだけど、上手く行ったな」

結弦「やったー!」


麻友「そうすると、後は、計算機で計算する。

{\displaystyle \frac{9.8}{6.674} \times 10^{11} \times 36 \times 10^{12}=M}

だから、

{\displaystyle \frac{9.8 \times 36}{6.674} \times 10^{23}=M}

最後のイコールを押すのが、指が震えるわね」

{52.8618 \times 10^{23}=M}

麻友「うわあ、

{M=5.28618 \times 10^{24} \mathrm{kg}}

最初の {5} が、あってて、桁もドンピシャ。でも、Yahooは、{5.9} だったけど、そこは、どうして?」

私「桁があってたのは、私の記憶力が、正しかったから。{5.9}のはずが、{5.2} になったのは、地球の半径として、麻友さんの6000kmというのを、そのまま採用したからだと思う」

若菜「なるほどねー。結果の解釈も、必要なのね」

結弦「僕が、単位は、キログラムだと、断定したから、計算が楽になったんだよ」

私「みんな、お疲れ様。問題9,10を出して、解散だよ」


 問題9

 木星の衛星の1つ,エウロパの深海で採取された試料の性質を調べてみたところ,栄養豊富な培養液中で育つ生命体が含まれているので驚いた。予備分析では,それらは細胞性でDNA,RNA,タンパク質を含む。同僚にこの結果を話したら,地球上の生物が混入しているのではないかといわれた。混入なのか,それとも新規の細胞性生物なのか区別するにはどうすればよいか。

(アルバーツ他『細胞の分子生物学(第6版)』第1章章末問題1-5より採用)


 問題10

 新型コロナウイルスの、ウイルス自体の1個の重さは、何グラムくらいか、推計せよ。(もの凄く大雑把で良い)




麻友「わー、遂に分子生物学の問題。ところで、明日、いいことがあるかもって、言ってたけど、何だったの?」

私「麻友さんのペンケース、6月17日に、注文したんだよ。今日には、来るかなって思ってたんだけど、まだ来なかった。7月23日から8月3日までには、届けます、だって」

麻友「どういうこと?」

私「多分ね、注文があってから、作ってるんだよ。だから、8月3日までは、待つしかない」

麻友「私の写真を、ポリウレタンの合成皮革に、印刷して、縫ってるのかも知れないわね。笑っちゃうわね」

私「じゃあ、おやすみ」

麻友「おやすみ」

 現在2020年6月21日18時03分である。おしまい。