相対性理論を学びたい人のために

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微分・積分入門(その9)

 現在2021年4月17日15時29分である。(この投稿は、ほぼ4814文字)

麻友「あれっ、今日土曜日。『微分積分入門』の連載って、月曜にドラえもんのブログで、じゃなかった?」

私「色々、試行錯誤してるんだよ。土曜日と、日曜日は、遅れている投稿の、補充に当てることになっていた」

麻友「そうだったわね。解析学ということで、『フーリエの冒険』と、『微分積分入門』を、ドラえもんのブログで、やるはずだったけど、気が変わったの?」

私「子供が巣立つように、他のブログに散っていって、一番大切なこのブログが、『他ブログ更新情報』ばっかりになってしまった。これは、問題がある。このブログが、メインなのだから」

麻友「それで、数学をひとつ、呼び戻したのね」

私「そうなんだ。それに、微分積分は、数学の中でも、もっともといっていいほど、頻繁に使われる武器で、本来なら、もっと文系でも、教えられてしかるべき、武器なんだ」

麻友「文系の私でも、『びぶん、せきぶん』というのは、『さいん、こさいん、たんじぇんと』の次くらいに、聞く言葉だものね」

私「じゃあ、2人を加えて、始めよう」


若菜「お父さん。『微分積分入門(その8)』やったの、いつか、覚えてます?」

私「それは、調べれば、分かるが」

若菜「2020年6月29日なんですよ。もう、忘れちゃいますよ」

結弦「確かに、義務教育を、9年間連続して、施すっていうのは、凄いことだよな。忘れる前に覚えさせちゃう」

麻友「あ、ただ、新型コロナウイルスの影響で、児童や生徒が、学校に通えなかったのは、可哀想だったわね」

若菜「それは、私達も、AI でなかったら、とんでもない問題に、なっていたところでした」

私「本当の子供じゃなくて、AI を育てるっていうのは、気楽だな。取り敢えず、『微分積分入門』始めるぞ。まず、前回のおさらい」



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 ことわっておくが,この事実はあくまで {\Delta r \rightarrow 0} のときの話であって,数学の言葉で正確にいうと

{\Delta r \rightarrow 0} のときの {\Delta A}{\Delta r } の比の極限は {2\pi r }

で,数式を用いて,つぎのように表現する.

{\displaystyle \lim_{\Delta r \rightarrow 0} \frac{\Delta A}{\Delta r} =2\pi r }

 {\lim} はリミットと読む(またはしゃれてドイツ語読みにリーメス).これは日本語の「極限」(きょくげん)に当たる.

 この左辺をもっと簡単に,つぎのように表わしディーエイ・ディーアールと読み下す.

{\displaystyle \frac{d A}{d r} =\biggl(\lim_{\Delta r \rightarrow 0} \frac{\Delta A}{\Delta r} \biggr)}

 微分とはじつに,微少なるものと,微少なるものとの比の極限をとることにほかならない.

 ここでは,半径 {r} の円の面積 {A= \pi r^2}{r} について微分{ \Delta r \rightarrow 0 } としたことを思え)したのであって,その結果は円周の長さ {2 \pi r} となって現れた.まことに奇妙といえば奇妙,不思議といえば不思議な,しかし動かし得ない事実なのである.



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                (『微分積分入門』5ページより)




私「さて、今回は、



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 こんどは反対に円の周が {2\pi r} であることがわかっているとして,このことから円の面積がどうなるかを求めてみよう.

f:id:PASTORALE:20210417211249j:plain

 それにはまず第2図を御覧願いたい.小石を落した点を中心として図のように波紋が広がっていったわけであるが,円と円の間にはさまれた輪の部分の面積を,順々に {\Delta A_1,\Delta A_2, \cdots \cdots,\Delta A_n} とする.つまり {\Delta r} をきわめて小さな値にして,半径を {n} 等分し,円の輪を {n} 個作ったのである.そうすると半径 {r} の円の面積は,これを {A} とすると

{A=\Delta A_1 +\Delta A_2+ \cdots \cdot +\Delta A_n}                (3)

となることがわかる.これまた微小なものの和である.ところが,{\Delta A_1} はさきに述べたように {\Delta r \rightarrow 0} ならば

{\Delta A_1 =2 \pi r \cdot \Delta r}

となり,{\Delta A_2,\Delta A_3}

{\Delta A_2 =2 \pi (r-\Delta r) \cdot \Delta r}

{\Delta A_3 =2 \pi (r-2 \Delta r) \cdot \Delta r}

同様にして {\Delta A_n}

{\Delta A_n =2 \pi \{r-(n-1) \Delta r\} \cdot \Delta r}

となることが,式を順々に眺めてゆけばわかるであろう.これらの値を(3)式に代入すると

{A =2 \pi r \cdot \Delta r +2 \pi (r-\Delta r) \cdot \Delta r + 2 \pi (r-2 \Delta r) \cdot \Delta r + \cdots \cdots}
{~~~~~~~~~ +2 \pi \{r-(n-1) \Delta r \} \cdot \Delta r}

となり,この右辺を {2 \pi r \cdot \Delta r} でくくると

{A =2 \pi\{ r +(r-\Delta r) + (r-2 \Delta r) + \cdots \cdot +r-(n-1) \Delta r)\} \Delta r}

{\{~~\}}の中で,{r}{n} 個あり,したがって

{A =2 \pi\{ nr -(1+2+\cdots \cdot +n-1) \Delta r \}\Delta r}


この {(~~)} の中は,等差数列の和の公式 {\displaystyle\biggl(\frac{(項数)}{~~~2}~ \times (a+l) \biggr)} から

{\displaystyle 1+2+3+ \cdots \cdots +(n-1)=\frac{n-1}{2} (1+n-1)=\frac{n-1}{2} \cdot n}

であるから



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           (『微分積分入門』6ページより)


結弦「うー、ちょっと、付いていけない。

{\Delta A_1,\Delta A_2, \cdots \cdots,\Delta A_n}

と、

{A=\Delta A_1 +\Delta A_2+ \cdots \cdot +\Delta A_n}

は、何が違うの?」

私「すまん。中学3年生だということを、忘れてた。上のでは、{\Delta A_1,\Delta A_2, } と、{,} で、区切ってあるだろ。こういうのを、数列と言って、{1,1,2,3,5,\cdots} のときのように、数が並んでいるだけなんだ。それに対し、下のでは、{A=\Delta A_1 +\Delta A_2+} と、{+} になってるだろ。こういうのを、級数というのだが、{1+1+2+3+5+ \cdots} のように、全部足していくんだよ」

結弦「あっ、ちょっと分かった。相対論のブログの『キラキラ星変奏曲(~変奏13)』で、一杯やったな」

若菜「私も、ちょっと聞きたい。{\Delta r}{\Delta} と、{r} は、絶対分けては、いけないのですね?」

私「{\Delta} 自体に、後ろの変数の微小な増分という意味が込められているから、通常分けることは起こらない。ただ、場合によって、{\Delta r} が、{dr} になることはある」

若菜「聞いてみて良かった」

結弦「数学とは、関係ないんだけどさ、あっちこっちにある、{\cdot} とか、{\cdots \cdot} とか、{\cdots \cdots} とかの中点の個数は、どうやって調節してるの?」

私「気になるか。私も模範解答は知らないのだが、{\TeX}で、\cdot というのが、中点で、\cdots というのが、中点3つを出す命令なんだ。c は、centre の略、dotは、点のこと、sは、複数形だよね」

結弦「そうか。だったら、{\cdots \cdot} は、\cdots \cdot と、すれば、いいんだね」

私「冴えてるな」

麻友「私も、聞きたいことがあるの。


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同様にして {\Delta A_n}

{\Delta A_n =2 \pi \{r-(n-1) \Delta r\} \cdot \Delta r}

となることが,式を順々に眺めてゆけばわかるであろう.

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というような記述って、数学の本で、すっごく良くあるの。こういうとき、『同様にして』の部分は、数学者はどうやって、ギャップを越えるの?」

私「これはねえ、同じことを2回目のときは、適当に済ますけど、初見の場合は、どんな優秀な数学者でも、実際に具体的に小さな数で、試してみて、納得できたら、先に進むはずだ。いつも、そうやって訓練していれば、そんなに大変ではなくなる」

麻友「ふーん」

私「今日は、全部を解説しきれなかったな。残りは次回にまわそう。良く頑張ったな」

麻友「じゃ、おやすみ」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

私「おやすみ」

 現在2021年4月17日22時28分である。