微分・積分入門（その９） - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０２１年４月１７日１５時２９分である。（この投稿は、ほぼ４８１４文字）

麻友「あれっ、今日土曜日。『微分・積分入門』の連載って、月曜にドラえもんのブログで、じゃなかった？」

私「色々、試行錯誤してるんだよ。土曜日と、日曜日は、遅れている投稿の、補充に当てることになっていた」

麻友「そうだったわね。解析学ということで、『フーリエの冒険』と、『微分・積分入門』を、ドラえもんのブログで、やるはずだったけど、気が変わったの？」

私「子供が巣立つように、他のブログに散っていって、一番大切なこのブログが、『他ブログ更新情報』ばっかりになってしまった。これは、問題がある。このブログが、メインなのだから」

麻友「それで、数学をひとつ、呼び戻したのね」

私「そうなんだ。それに、微分・積分は、数学の中でも、もっともといっていいほど、頻繁に使われる武器で、本来なら、もっと文系でも、教えられてしかるべき、武器なんだ」

麻友「文系の私でも、『びぶん、せきぶん』というのは、『さいん、こさいん、たんじぇんと』の次くらいに、聞く言葉だものね」

私「じゃあ、２人を加えて、始めよう」

若菜「お父さん。『微分・積分入門（その８）』やったの、いつか、覚えてます？」

私「それは、調べれば、分かるが」

若菜「２０２０年６月２９日なんですよ。もう、忘れちゃいますよ」

結弦「確かに、義務教育を、９年間連続して、施すっていうのは、凄いことだよな。忘れる前に覚えさせちゃう」

麻友「あ、ただ、新型コロナウイルスの影響で、児童や生徒が、学校に通えなかったのは、可哀想だったわね」

若菜「それは、私達も、AI でなかったら、とんでもない問題に、なっていたところでした」

私「本当の子供じゃなくて、AI を育てるっていうのは、気楽だな。取り敢えず、『微分・積分入門』始めるぞ。まず、前回のおさらい」

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　ことわっておくが，この事実はあくまで ${\Delta r \rightarrow 0}$ のときの話であって，数学の言葉で正確にいうと

${\Delta r \rightarrow 0}$ のときの ${\Delta A}$ と ${\Delta r }$ の比の極限は ${2\pi r }$

で，数式を用いて，つぎのように表現する．

$\lim_{\Delta r \rightarrow 0} \frac{\Delta A}{\Delta r} =2\pi r$

　 ${\lim}$ はリミットと読む（またはしゃれてドイツ語読みにリーメス）．これは日本語の「極限」（きょくげん）に当たる．

　この左辺をもっと簡単に，つぎのように表わしディーエイ・ディーアールと読み下す．

$\frac{d A}{d r} =\biggl(\lim_{\Delta r \rightarrow 0} \frac{\Delta A}{\Delta r} \biggr)$

　微分とはじつに，微少なるものと，微少なるものとの比の極限をとることにほかならない．

　ここでは，半径 ${r}$ の円の面積 ${A= \pi r^2}$ を ${r}$ について微分（ ${ \Delta r \rightarrow 0 }$ としたことを思え）したのであって，その結果は円周の長さ ${2 \pi r}$ となって現れた．まことに奇妙といえば奇妙，不思議といえば不思議な，しかし動かし得ない事実なのである．

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　　　　　　　　　　　　　　　　（『微分・積分入門』５ページより）

私「さて、今回は、

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　こんどは反対に円の周が ${2\pi r}$ であることがわかっているとして，このことから円の面積がどうなるかを求めてみよう．

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　それにはまず第２図を御覧願いたい．小石を落した点を中心として図のように波紋が広がっていったわけであるが，円と円の間にはさまれた輪の部分の面積を，順々に ${\Delta A_1,\Delta A_2, \cdots \cdots,\Delta A_n}$ とする．つまり ${\Delta r}$ をきわめて小さな値にして，半径を ${n}$ 等分し，円の輪を ${n}$ 個作ったのである．そうすると半径 ${r}$ の円の面積は，これを ${A}$ とすると

${A=\Delta A_1 +\Delta A_2+ \cdots \cdot +\Delta A_n}$ 　　　　　　　　　　　　　　（３）

となることがわかる．これまた微小なものの和である．ところが， ${\Delta A_1}$ はさきに述べたように ${\Delta r \rightarrow 0}$ ならば

${\Delta A_1 =2 \pi r \cdot \Delta r}$

となり， ${\Delta A_2,\Delta A_3}$ は

${\Delta A_2 =2 \pi (r-\Delta r) \cdot \Delta r}$

${\Delta A_3 =2 \pi (r-2 \Delta r) \cdot \Delta r}$

同様にして ${\Delta A_n}$ は

${\Delta A_n =2 \pi \{r-(n-1) \Delta r\} \cdot \Delta r}$

となることが，式を順々に眺めてゆけばわかるであろう．これらの値を（３）式に代入すると

${A =2 \pi r \cdot \Delta r +2 \pi (r-\Delta r) \cdot \Delta r + 2 \pi (r-2 \Delta r) \cdot \Delta r + \cdots \cdots}$
${~~~~~~~~~ +2 \pi \{r-(n-1) \Delta r \} \cdot \Delta r}$

となり，この右辺を ${2 \pi \cdot \Delta r}$ でくくると

${A =2 \pi\{ r +(r-\Delta r) + (r-2 \Delta r) + \cdots \cdot +r-(n-1) \Delta r)\} \Delta r}$

${\{~~\}}$ の中で， ${r}$ は ${n}$ 個あり，したがって

${A =2 \pi\{ nr -(1+2+\cdots \cdot +n-1) \Delta r \}\Delta r}$

この ${(~~)}$ の中は，等差数列の和の公式 ${\displaystyle\biggl(\frac{(項数)}{~~~2}~ \times (a+l) \biggr)}$ から

$1+2+3+ \cdots \cdots +(n-1)=\frac{n-1}{2} (1+n-1)=\frac{n-1}{2} \cdot n$

であるから

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　　　　　　　　　　　（『微分・積分入門』６ページより）

結弦「うー、ちょっと、付いていけない。

${\Delta A_1,\Delta A_2, \cdots \cdots,\Delta A_n}$

と、

${A=\Delta A_1 +\Delta A_2+ \cdots \cdot +\Delta A_n}$

は、何が違うの？」

私「すまん。中学３年生だということを、忘れてた。上のでは、 ${\Delta A_1,\Delta A_2, }$ と、 ${,}$ で、区切ってあるだろ。こういうのを、数列と言って、 ${1,1,2,3,5,\cdots}$ のときのように、数が並んでいるだけなんだ。それに対し、下のでは、 ${A=\Delta A_1 +\Delta A_2+}$ と、 ${+}$ になってるだろ。こういうのを、級数というのだが、 ${1+1+2+3+5+ \cdots}$ のように、全部足していくんだよ」