現在２００６年１月１２日０時３０分である。
今日は、物理学辞典を２ページ読んだ後、放送大学の添削答案が戻ってきていたので、それをチェックした。数学とコンピュータという科目だけ、６０点だったので、ぎりぎりセーフだったが、後の科目は余裕で合格点だった。
物理学辞典では、初めてアインシュタイン・ポドルスキー・ローゼンのパラドックスというものをきちんと知った。今まで噂は聞いていたが、ちゃんと読んだことはなかった。
さて解析入門Ⅰを今日もちゃんと２時間やった。問１を全部解いたのが今日の成果。
とりあえずブログの方では、（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）だけ解説しよう。
まず集合Ｋというものに演算というものを考える。ここで集合というのは、数の集まりと思っていて良い。もう少し範囲を広げて、数の集まりを一つのものと見なし、それらの集まりも考えても良いのだが、今は余りこだわらなくて良い。
演算とは何かというと、今の場合、足し算とか、かけ算を思い浮かべて良い。丁寧に書くと、Ｋの任意の２つの元ａ，ｂに対し、ａ＋ｂというＫの元を定める約束事が定まったということである。
厳密に書くと、ａ，ｂ∈Ｋに対し(ａ，ｂ）という形のもの全部の集まりをＫ×Ｋと書き、Ｋの直積という。そして、Ｋ×ＫからＫへの関数を、Ｋの演算という。ここでは足し算を考えるので、関数の記号を使って書くと、
＋：Ｋ×Ｋ→Ｋ
（ａ，ｂ）→ａ＋ｂ
というものが定義されたということである。本当は、下の矢印の根本には、短い縦棒をつけなければいけないのだが、フォントがない。
さて、この＋という演算について、私達が実数として知っているものの持つ性質を満たしていることを要求する。
そこでまず次の３つの条件を考えよう。
（Ｋ２）任意のａ，ｂ，ｃ∈Ｋに対し
（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）
（Ｋ３）Ｋの元ｅで任意のａ∈Ｋについて
ａ＋ｅ＝ａ
となるものが、少なくとも一つ存在する。
補助定義 １
このようなｅの一つを０と表し、また０以外にもこの様な性質を持つものがあるとしてその一つを０’と表すことにする。
すなわち
ａ＋０＝ａ
ａ＋０’＝ａ
（Ｋ４）
（Ｋ３）で存在が保証されている、ｅ達すべてについて、任意のａ∈Ｋに対し、
ａ＋ｋ＝ｅ
となるｋが少なくとも一つ存在する。それぞれのｅについてｋは異なって良い。また、ａによってもｋは異なる。
補助定義 ２
ｅのひとつで補助定義１で定めた０に対し、
ａ＋ｋ＝０
となるｋの一つをｘと表す。
すなわち
ａ＋ｘ＝０
さて、これは、解析入門Ⅰの（Ｒ２）から（Ｒ４）という条件を丁寧に書き直したものである。（Ｒ１）に相当する（Ｋ１）も考えられるのだが、最初の３問を解くとき、この（Ｒ１）を使わずに解こうと思う。これは、結合法則と右単位元と右逆元が存在するという仮定だけで、群の定義になるということを示すというのが、達観した立場からの説明である。
さて問１の（ⅰ）を読もう。
（ⅰ）（Ｒ３）をみたす０は唯一つ。
解答では１行で片付けられている。（Ｒ１）を仮定すればあっという間に導けるのだ。だが遠回りをしよう。
証明
補助定義２により、
ａ＋ｘ＝０
が成り立っている。ここで、（Ｋ４）により、ｘ∈Ｋについて、
ｘ＋ｙ＝０
となるｙ∈Ｋが少なくとも一つ存在する。
今、
ａ＋ｘ＝０
ならば
ｘ＋ａ＝０
であることを示そうと思う。
補題１
ａ＋ｘ＝０ ならば ｘ＋ａ＝０
証明
ｘ＋ａ＝（ｘ＋ａ）＋０＝（ｘ＋ａ）＋（ｘ＋ｙ）
＝｛（ｘ＋ａ）＋ｘ｝＋ｙ＝｛ｘ＋（ａ＋ｘ）｝＋ｙ
＝（ｘ＋０）＋ｙ＝ｘ＋ｙ＝０
となり、計算により確かめられた。
以上により、任意のａ∈Ｋについて、
ａ＋ｘ＝０ ならば ｘ＋ａ＝０
が示された。
補題証明終
ａとして０をとると、
０＋ｘ＝０＝ｘ＋０
が示されたことになる。
さて、０’というものが存在するとして、それのことを考えよう。
０’は定義により任意のａについて、
ａ＋０’＝ａ
となるのだった。
ａとして０をとると
０＋０’＝０
である。
補題１により
ａ＋ｘ＝０ ならば ｘ＋ａ＝０
であることを示してあるので、ａ＝０，ｘ＝０’と考えることにより、
０’＋０＝０
が分かる。一方、０の定義により、任意のａ∈Ｋについて
ａ＋０＝ａ
であるから、ａ＝０’として
０’＋０＝０’
である。これらより、
０＝０’＋０＝０’
が計算により確かめられた。従って、
０＝０’
すなわち、（Ｋ３）のｅは唯一つに定まる。
従って（Ｒ３）の０も唯一つであることが分かった。
証明終
（Ｋ３）のｅは唯一つであるから、今後これを０と書くことに統一しても混乱しない。
こういう証明を見ていて、なんだか＝の記号をたくさん並べて、つないでいって、つなげたから、０は唯一つです。というのでは本当に一つなのかどうか分かった気がしない、という人もいるだろう。
私も初めはそうだった。＝で結べたら同じものなのか？ という疑問はもっともである。
だが、＝で結べるのなら、その二つは、どの場面でも、どちらを代入してもいい。つまり同じ役割をしてくれる。ということに気付いたとき、疑問は晴れた。つまり、見かけは違うかも知れないが、実数として同じ振る舞いをしてくれる数だから、同じ数だと思ってしまってもその後全然困らないのである。
上の証明でそんな疑問を持った人に応えられたとしたら幸いである。
さて、ついでに次の補題を証明してしまおう。
補題２
任意のａ∈Ｋについて
０＋ａ＝ａ
証明
補助定義２により
ａ＋ｘ＝０
この時、
ｘ＋ａ＝０
であることは既に示した。よって、
０＋ａ＝（ａ＋ｘ）＋ａ＝ａ＋（ｘ＋ａ）
＝ａ＋０＝ａ
よって
０＋ａ＝ａ
が示された。
証明終
さて問１の（ⅱ）を読もう。
（ⅱ）（Ｒ４）をみたす－ａは各ａに対し唯一つ。
これは、補助定義２により
ａ＋ｘ＝０
と表されているとき、同時にｘ’∈Ｋにより
ａ＋ｘ’＝０
となったとき、ｘ＝ｘ’を示せばよいことが分かる。それを示そう。
定理
ａ＋ｘ＝０，ａ＋ｘ’＝０
ならばｘ＝ｘ’。
証明
ｘ＝ｘ＋０＝ｘ＋（ａ＋ｘ’）
＝（ｘ＋ａ）＋ｘ’＝０＋ｘ’＝ｘ’
よってｘ＝ｘ’が得られた。
証明終
以上により（ⅱ）が解けた。従って、（Ｋ４）によって存在が保証されている
ａ＋ｋ＝０
となるｋは、各ａに対し唯一つ定まる。この唯一つのｋを－ａで表すことに統一しても混乱は起きない。
さて、この－ａについて、
（－ａ）＋ａ＝０
は、成り立たないものだろうか。
これは、解析入門Ⅰの問１の（ⅲ）を示すことである。（ⅲ）を読んでみよう。
（ⅲ）－（－ａ）＝ａ
これが成り立てば上の式は成り立つ。
証明
補題２により
－（－ａ）＝０＋（－（－ａ））
＝（ａ＋（－ａ））＋（－（－ａ））
＝ａ＋｛（－ａ）＋（－（－ａ））｝
＝ａ＋０＝ａ
よって
－（－ａ）＝ａ
（－ａ）＋ａ＝０
が言えた。
証明終
ここでも、マイナスの上にさらにマイナスをつけるというのが、イメージできないという人がいるだろう。
こう考えたらどうだろう。
マイナスをつけるというのは、ＫからＫへの関数だと思うのである。
－：Ｋ → Ｋ
ａ → －ａ
そして、その関数の合成関数が、－（－ａ）だと思うのである。そして、（ⅲ）が主張しているのは、その２回の合成関数が、恒等関数であるといっているのである。
マイナスの数のマイナスはプラスになる。ということの根拠はここにある。中学で習ったことが、今初めて、実数の性質である結合法則と、０があるという法則と、すべての数にそれとたして０になる数があるという法則から、証明されたのである。これはすごいことである。私達は初めて、何もなかったところから、新しい法則を発見したのである。
性質（Ｋ２）～（Ｋ４）をもつ演算の定義された集合を群という。群などというものをなぜ考える必要があるのか、というのは、群というものが考え出された歴史を見てみると分かる。それは代数方程式というものを解こうという努力から生まれたものである。それについては、昨日も書いたが、数Ⅲ方式ガロアの理論のカテゴリーで述べることにする。
今日はここまでにする。明日は私は実家へ帰るので携帯からしか投稿できない。従って、問題の残りを解くのは、戻ってきてからにする。
解析入門Ⅰの易しい部分でも、これだけ話すことがある。１冊終わるまでには、どれだけドラマが生まれるであろうか。
現在２００６年１月１２日３時１９分。おしまい。
