相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。ブログの先頭に戻るには表題のロゴをクリックしてください

試してみることの重要さ

 現在2019年3月7日19時26分である。

 私は、『また、機会をくれますよね』の投稿で、

『ハワイ行きを、どう思うか?』

と、トントンの職員さんに、聞いてみたりしたように、自分のアイディアを、そばにいる人に、尋ねてみるようになった。

「そんなの、当たり前じゃない?」

 いや、私に取っては、当たり前じゃなかったんだ。

「じゃあ、今まで、どうしてたの?」

 例えば、小学校の頃、母から、

『お母さんが、小さいとき、灯油屋さんが、うっかり玄関にあった植木鉢に、灯油をかけちゃったのよね。おばあちゃんが、一所懸命、根を洗ったけど、結局枯れちゃったのよ』

と、話を聞くと、普通の子なら、他の子に、

『油がかかると植物って、枯れるの?』

とか聞いて、何人もガヤガヤやってるうちに、

『本当らしい』

とかなるのかも知れないが、私は、普通の子じゃなかった。

「えっ、まさか、本当に、植物に、油かけた?」

 はい。自転車に、油を注すんだと言って、ミシン油を、持ち出し、庭のツツジの茂みに、チュチュッと。

「どうなった?」

 すぐには、枯れないんだよね。

 でも、2週間くらいして、油を注したあたり全体が、枯れてしまった。

「ウワーッ、太郎さんって、恐ろしい。本当に、試しちゃうの? 枯れるって分かってたんでしょ?」

 私の中では、

『本当かなあ?』

という状態だったんだよ。

「太郎さんは、疑問に思ったことを、先生に聞いたりしなかったの?」

 そりゃあ、先生に聞いて解決できる問題だと思った場合は、聞くよ。


「太郎さんが、『初体験』の模範的な教科書を、書こうとしてたのも、分かるわ。『1度も間違いを犯したことのない若者』に対し、世間は、冷たいのよね。からかったりして。太郎さんは、自分で納得できる教科書を書きたかったのね」

 そういうことだね。

 でも、それは、書けた。


 もう、その問題から、離れられる。

 だから、トントンの職員さん達に、相談したりするように、なった。

 いや、そもそも、このブログというものは、私の実験したいことや、実験結果を、私なりに、書いてきたものなんだよ。


「それで、今日は?」

 これは、どうなるのかな? と思ったとき、もし計算して答えが出るのなら、人が死んだりはしないのだから、ちょっと計算してみるということを、習慣づけるようにすることを、提案したい。

「太郎さんの人生では、どんなことがあった?」

 麻友さんレヴェルの問題を、用意してきた。

「私レヴェルって、中学から高校の数学?」

 私が、中学3年生のときのことだ。

「どんな問題?」

 三角形って、三辺の長さが決まれば、一つに定まるよね。

「ああ、三角形の合同条件ね。でも、これは、小学校でも習ったわ」

 そう。だけど、私は、中学3年生のある日、ふと、

『三辺が決まれば、三角形が決まるのだから、三辺を知っていれば、面積も求まるのじゃないか?』

と思った。

 もし、友達に聞けば、

『そんなの無理だよ』

と、言われたかも知れず、また、先生に聞けば、きちんと、公式を教えてくれたかも知れない。

 だが、思い立った私は、まっしぐらに計算し始めた。

 どのくらいの計算で求まるか見せるために、やってみせよう。

 『麻友56』のノート3322ページ。

f:id:PASTORALE:20190307212218j:plain

 こういう三角形の面積を、求めようと思う。

 三角形の面積は、底辺かける高さ割る2だから、垂線の長さを、{h} として、


f:id:PASTORALE:20190307212256j:plain

という式になる。

 ここで、中央の線が垂線であることから、三平方の定理により、

{h^2+l^2=b^2}

である。

 これから、{l^2} を移項して、

{h^2=b^2-l^2}

と、変形して、ルートを取る。

{h=\sqrt{b^2-l^2}}

 後は、{l} を、{a,b,c} で、表せれば、三角形の面積を、三辺の長さだけで、表せることになる。


「ちょっと、待って。{l} というのは、どこから現れたの?」

 数学では、いきなり記号を持ち込んだ場合、

『後で、その値を決めるから、取り敢えず、仮にこの記号を使っておくよ』

という暗黙の了解がある。

 でも、本当なら、

『長さ {h} の垂線の足から {C} までの長さを、{l} と置く』

と、書いてあった方が、親切だよね。

「うん」


 さて、{l} を、求めたいんだけど、ここで、行き詰まる。

 これで諦めたのなら、それまでだ。

 でも、私は、

『今は、右側の直角三角形だけ使った。左を使ったら?』

と思った。

 これを、計算したのが、大当たりだった。

 要するに、

f:id:PASTORALE:20190307212256j:plain

で、

{h^2+(a-l)^2=c^2}

としたのだ。

「それで、どうするの?」

 いつも通り、展開。

{h^2+a^2-2al+l^2=c^2}

となる。

 ここで、最初の式を、思い出す。

{h^2+l^2=b^2}

 これだけ、おあつらえ向きに並んでくれると、変数の消去も簡単だ。

「待って、分かった。上の方の式の中に、{h^2+l^2} があるから、そこに、{b^2} を、代入できるのね。

だから、

{a^2-2al+b^2=c^2}

となって、

{a^2+b^2-c^2=2al}

だから、

{\displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{2a}=l}

と、{l} が、求まった」

 じゃあ、三角形の面積は?

「あっ、そうか。面積を求めるんだったのか。

 三角形の面積 {\displaystyle =\frac{1}{2} ah}

で、

{h=\sqrt{b^2-l^2}}

だったから、

 三角形の面積 {\displaystyle =\frac{1}{2} a\sqrt{b^2-l^2}}

となって、この {l} に、さっきの

{\displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{2a}=l}

を、代入する」

 うん、頑張ったのは、認める。でも、数学では、自分で意図してなくても、ひとりでに問題が解けるということがある。

 さっきの、

 三角形の面積 {\displaystyle =\frac{1}{2} a\sqrt{b^2-l^2}}

だけど、{a} だけルートの外にある。いっそ、ルートの中に入れたら、綺麗になるんじゃないかな? と、やってみる。

「えーっ、

 三角形の面積 {\displaystyle =\frac{1}{2} a\sqrt{b^2-l^2}=\frac{1}{2} \sqrt{a^2b^2-a^2l^2}}

で、あ、そうか、

 三角形の面積 {\displaystyle =\frac{1}{2} \sqrt{a^2b^2-a^2l^2}=\frac{1}{2} \sqrt{a^2b^2-(al)^2}}

なんだ。

 だから、さっき代入するって言ってた、

{\displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{2a}=l}

は、{2a} で、割らなくて良かったんだ。

{2al=a^2+b^2-c^2}

を、代入する。

 そうすると、私も、頭を使って、

 三角形の面積 {\displaystyle =\frac{1}{2} \sqrt{a^2b^2-(al)^2}=\frac{1}{2} \sqrt{a^2b^2-\frac{(2al)^2}{2^2}}}

としてから、代入する。

 三角形の面積 {\displaystyle =\frac{1}{2} \sqrt{a^2b^2-\frac{(2al)^2}{2^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2-\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{2^2}}}

なんか、もうちょっと綺麗にならないかしらね」

 そう。

 そういう、数学的センスも、あった方が良い。

 三角形の面積 {\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2-\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{2^2}}}

は、一応公式だけど、こんなのどうやって覚えるの?

「太郎さんの言う、数学的センスで言うと、因数分解の、{X^2-Y^2=(X+Y)(X-Y)} が、使えそうな気がするわね」

 やってみて、

{\displaystyle X=ab,Y=\frac{(a^2+b^2-c^2)}{2}}

と、するのよ。だから、

 三角形の面積 {\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2-\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{2^2}}}

    {\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{ \biggl(ab+\frac{(a^2+b^2-c^2)}{2}\biggr)\biggl(ab-\frac{(a^2+b^2-c^2)}{2}\biggr)}}

っていうのは、どうかしら?」

 いい線行ってる。あと一息。分母の {2} を追い出しちゃえ。

「えーっ、{2} を追い出すの?

 三角形の面積 {\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{ \frac{1}{2} \biggl(2ab+(a^2+b^2-c^2)\biggr)\frac{1}{2}\biggl(2ab-(a^2+b^2-c^2)\biggr)}}

となって、さらにルートの中から追い出すと、ルート取る分を考えに入れて、

 三角形の面積 {\displaystyle =\frac{1}{2}\frac{1}{2}\sqrt{ \biggl(2ab+(a^2+b^2-c^2)\biggr)\biggl(2ab-(a^2+b^2-c^2)\biggr)}}

となって、ルートの外を計算して、

 三角形の面積 {\displaystyle =\frac{1}{4}\sqrt{ \biggl(2ab+(a^2+b^2-c^2)\biggr)\biggl(2ab-(a^2+b^2-c^2)\biggr)}}

 これを、あっ、まさか、

 三角形の面積 {\displaystyle =\frac{1}{4}\sqrt{(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)}}

だから、

 三角形の面積 {\displaystyle =\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+2ab+b^2-c^2)(-a^2+2ab-b^2+c^2)}}

となって、

 三角形の面積 {\displaystyle =\frac{1}{4}\sqrt{((a+b)^2-c^2)(-(a^2-2ab+b^2)+c^2)}}

から、

 三角形の面積 {\displaystyle =\frac{1}{4}\sqrt{((a+b)^2-c^2)(-(a-b)^2+c^2)}}

となる」

 もう一声。

「えーっ、まだー? あ、そうか、

 三角形の面積 {\displaystyle =\frac{1}{4} \sqrt{ ( (a+b)+c) ( (a+b)-c) (c+(a-b) ) (c-(a-b) )}}

なんか大分、簡単になったけど」

 内側の括弧取っちゃって。

「はい、

 三角形の面積 {\displaystyle =\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)((a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}}

ふん、ふん。あれっ、

 三角形の面積 {\displaystyle =\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)((a+b-c)(c+a-b)(b+c-a)}}

だ。あっ、分かった。太郎さん、やったやった! 分かった」

 気付いた?

「そう。三角形の面積は、三辺を、{a,b,c} とするとき、まず3つとも足したもの {(a+b+c)}、それから、2つの和からもう一つの辺を引いたもの3つ{(a+b-c),(c+a-b),(b+c-a)}の4つをかけて、ルートを取ったものを、4で割ればいい。太郎さん、問題がひとりでに解けるっていうの、分かった。こういうことなのねえ」

 やったね。麻友さん。


 これは、私が、中学3年の時、辿った道でした。

 この公式を導くとすぐ、私は、父がいつも仕事をしているところへ行き、『数学公式ハンドブック』という本を開き、私が導いたものと等価な公式がないか、調べました。

 ありました。

 そして、私のものでは、なぜ4で割るか、分からないのですが、その公式、すなわちヘロンの公式では、

{2s=a+b+c} と置いて、

三角形の面積 {=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}

と、求まることが、書いてありました。


「太郎さんって、学校で公式として習うものまで、導いちゃうのね。それで、何が言いたかったの?」

 見かけ上、私の自慢話のようだが、最初の切っ掛けは、

『三角形の三辺が決まれば、三角形は決定される。だったら、面積も求まるんじゃないか?』

というものだった。

 そして、自分で開発した武器は使い易く、私は、ヘロンの公式を用いるべきところでは、自分の公式の方を、使っている。

 そうして、最後に、公式を暗記したくない人には、公式を教わる前に、自分で導いて、自分の公式にしてしまうことを、お勧めする。


 中学3年の終わり、受験の直前の代々木ゼミナールの模擬試験で、次のような問題が出た。


 問題

 3辺の長さが、13,14,15 の三角形の面積を求めよ。


 麻友さん。解いてごらん。

「分かるわ。

13+14+15=42

13+14-15=12

14+15-13=16

15+13-14=14

だから、

{\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{42 \times 12 \times 16 \times 14}}

{6 \times 7 \times 3 \times 4 \times 4 \times 4 \times 2 \times 7 =6^2 \times 7^2 \times 4^2 \times 4 = (6 \times 7 \times 8)^2 }

だから、私の公式に当てはめて、

面積 {\displaystyle =\frac{1}{4} \sqrt{(6 \times 7 \times 8 )^2 }=\frac{1}{4}(6 \times 7 \times 8)=84}

となって、{84}よ!」

 私は、何の説明もつけず、私の公式とルートをとる計算だけ書いて、

 答 84

と、書いて提出した。

 他の生徒、どうやって解くのだろう? と、渡された『解法のしおり』を見たら、実は、これには、まともな解法があったのだった。

 私は、知らなかったが、答えがあっていたので、減点もされず、及第点をもらった。

「まともな解法って?」

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 上の図のように、長さ14の辺に垂線を下ろすと、上手いこと長さが12になるんだ。トリッキーな問題だったんだよ。


「ヘロンの公式って、いつ頃習うの?」

 私は、高校2年の時に、習ったように覚えてる。


「気になったことは、人や生き物が死なないのなら、実験したり計算したり、ということを、大いにやるべきだ。という話だったのね。今日の話は、辛うじて理解できたわ。ありがとう」

 どういたしまして。

 じゃあ、また書くよ。おやすみ。

「おやすみ」

 現在2019年3月8日22時13分である。おしまい。