キラキラ星変奏曲（変奏６） - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０２０年８月６日１３時２８分である。

麻友「今日は、早い時間から、始められたのね。昨晩は、よく眠れた？」

私「２２時半頃眠ったけど、２：００頃、３：４１頃、５：５３頃、と、目が覚めてる。３時４１分に、目が覚めたときに、冷房が効きすぎているのかなあ？と　思い、エアコンを切った。そうしたら、５：５３に起きたとき、寝間着に、ぐっしょり汗をかき、寝間着を脱いで、昨日昼間着ていた服に着替えた。もう、起きるつもりだったが、眠くなり、６：５９～７：３２昼寝。また、汗をかいたので、エアコンをつけ、今日の服装にして、パソコンを始めようとするが、眠くなり９：３０～１１：２６昼寝。それで、起きられて、昨日３合炊いた、釜飯の、残り１合半で、朝食。１２時１５分から、１３時１０分までかけて、一昨日、昨日の、出納帳をつける」

若菜「２日分の出納帳つけるのに、１時間掛かるんですか？」

私「普通の人は、レシートを元に、出納帳をつける。だが、私は、Suica で払ったものや、レシートがなくなってしまったものも、全部書いている」

結弦「どうやって？」

私「いくら言っても、信じないだろうから、見せてあげるよ。７月２８日からのだ。

若菜「これ、どう見るんですか？」

私「７月２７日の５２００と書いてある欄が、支出、その次の列が、収入、３２００と、書いてある欄が、今財布にいくら入っているか」

結弦「貯金（５２００）（０）（２３，４７３）というのは？」

私「財布に入ってないけど、使えるお金が、５２００円あるということ、０というのは、以前、Mathematica のために貯金してたとき、貯金のうち、他のことに使って良いお金として書いていたものの、名残。２３，４７３というのは、Mathematica のために、貯金していて３月２５日の最大瞬間風速だよ」

麻友「貯めていたけど、他のことに使わざるを得なくて、取り崩しちゃったと、言ってたわね」

私「だから、これは、記念に書いてあるけど、こんなお金は、ない」

若菜「どうして、５２００円も、貯金したんですか？」

私「７月３０日に、貯金を財布に戻して、ヤクルトレディに、３１７８円払っているだろう。このためだよ」

結弦「ヤクルトレディって、お母さんが、コマーシャルやったから、『ヤクルト４００』と、『ヤクルトのはっ酵豆乳』を、注文したって言うのだよね」

若菜「そうなんだ。だから、ほとんど１日に２回『ワンダ』ってあるのも、お母さんが、コマーシャルやったからなんだ」

私「きちんと、説明しておくとね、ワンダモーニングショットを飲むと、本当に、眠気が覚めるの。だから飲んでる。だけど、ワンダモーニングショットを、飲むとき、麻友さんと、間接キスしているんだと、思っているのは、本当。ヤクルトも、飲み始めたら、下剤がいらなくなった。だから、飲み続けている。麻友さんからのプレゼントだと思っている」

麻友「太郎さん、そんな秘かな楽しみを、公開しちゃうなんて」

私「言わなきゃ、伝わらないんだよ。

♪好きならば好きだと言おう

♪誤魔化さず素直になろう

♪好きならば好きだと言おう

♪胸の内さらけ出そう

（ＡＫＢ４８の歌『会いたかった』より）

だろう」

若菜「ポートへ行ったのも、京浜急行も、バス代も書いてある。どうして、支出と収入の両方に、　２５２　｜　Suica ２５２　｜　１１３４　　みたいに、書いてあるんですか？」

私「普通の人は、Suica にチャージした額だけ、出納帳に書いて、安心してしまう。だが、Suica の中身が、いくら遣われたか、書いておかないと、本当にお金をいくら遣ったのか、分からない。そこで、私は、－２５２＋２５２という意味で、財布からお金は減らないけど、自分が遣った額を、出納帳に書くことにしたんだ」

麻友「生活費とか、夕食費とか、ポート交通費とか、新聞代、とか、もらってるわね。３日を２０００円で、生きているというのは、ウソだわね」

若菜「夕食費というのは、何なんですか？」

私「本来、生活費は、朝食、昼食、のためのもので、夕食は、実家へ行って、ご馳走になることに、なってた。ところが、新型コロナウイルス騒動のために、血液の免疫のガンである父が、私と会うと、寿命が縮まるなどと、母が言い出して、夕食を食べさせてもらえなくなった。それで、１日５００円、３日で１５００円、夕食費として、もらうこととなった」

結弦「一応、理由があるんだな」

麻友「『なぜか、５００円多い』なんていうのも、あるわね」

私「人間が、自分の財布を管理しているから、『どうして、５００円多いのだろう？』ということもある。この場合、後で分かったが、計算間違いしていた。ただ、ここで、どうも、１日に３回、ワンダモーニングショットを、買っていたようだと判明したので、書いてある。Excel で、管理していると、間違ったところを消してしまった場合、後で、分からない。シャーペンで、書いてあると、消しゴムで消しても、跡が残る。これが、重要。簿記などで、昔、つけペンで、帳簿をつけさせられたのは、不正を防ぐためだったと思う」

若菜「『３４９５冊』というのは？」

私「今までに、父のために作ってあげた、本のリストの総数」

結弦「あっ、次のページで、＋１６冊　になってる」

麻友「あっちこっちに、（残１４８７）とか、（残５８８）とか、あるのは、Suica の残高なのね」

私「まさにその通りだよ。オートチャージにしてないから、遣った額を計算すれば、残額が分かる。だけど、ときどき、履歴を印字して、比較しているよ」

麻友「ウーン、確かにこんなことやってたら、２日分でも、１時間かかるの、当然だわ。最後に聞かせて、一番下の、『４６６３（ギフト）』というのは、何？」

私「目の付け所が違うね。これは、『ハチミツとクローバー』の次の巻以下を、Ｋｉｎｄｌｅで買うための、アマゾンギフト券のチャージ残高だよ」

麻友「納得。『ハチミツとクローバー』どこまで読んだ？」

私「１巻の chapter.5 に入ったところ」

麻友「まだまだ、楽しめるわね」

私「こういう計算をするためだけに、数学はあるのではない。『キラキラ』の計算、再開するよ」

結弦「昨日、

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

私「大丈夫だって。まず、整級数の収束半径というややこしい話が出て来るが、それは、オミット。

関数 $\frac{z}{e^z-1}$ は、解析関数 ${e^z}$ と、解析関数 ${z}$ と、解析関数 ${1}$ の足し算引き算掛け算割り算で、できているので、解析関数なんだ。

だから、

$\frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_n}{n!}z^n,~~~~(|z| \leqq 2 \pi)$

というように、整級数展開できるはずだと言うことになる」

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

というやり取りが、あったけど、この、

${(|z| \leqq 2 \pi)}$

というのが、収束半径とかいうものなの？」

私「そう。数列が、収束するか、発散するか、というのは、難しい問題で、数列が収束するかどうか判定するアルゴリズムはないと、結弦のお父さん、つまり甥のお父様、要するに、妹のご主人様が、言ってたように、覚えている」

若菜「さすが、情報科学科で、コンピューターに、詳しい」

私「この場合、原点から半径 ${2 \pi }$ の円内の複素数で、収束するのだけど、それの証明は、取り敢えず今は、オミットするということだ。オミット、つまり、 ${\mathrm{omit}}$ （割愛する）ね」

麻友「整級数展開できるはずだと言ってるけど、この ${b_i}$ とかいうのは、一通りに、決まるの？」

私「どんどん、聞いて良いよ。整級数展開の一意性、テイラー展開の一意性というのは、証明できるんだ。だから、この整級数の係数ということで、数列 ${b_i}$ は、きちんと定義できる」

$\frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_n}{n!}z^n=\frac{b_0}{0!}z^0+\frac{b_1}{1!}z+\frac{b_2}{2!}z^2+\frac{b_3}{3!}z^3+\cdots,~~~~(|z| \leqq 2 \pi)$

麻友「ああ、こういう式なのね。具体的に書いてよ」

私「ごめん、いつもの数学者の常識で。さて、今度は、これの、逆数を、考える。割り算するだけだから、逆数も、解析関数。どういうことかと言うと、

$\frac{e^z-1}{z}=\frac{1}{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_n}{n!}z^n}=\frac{1}{\displaystyle \frac{b_0}{0!}z^0+\frac{b_1}{1!}z+\frac{b_2}{2!}z^2+\frac{b_3}{3!}z^3+\cdots}$

を、考えるということ」

若菜「計算したくないですね」

私「それは、右辺を見ているからだ」

結弦「左辺は、

$\frac{e^z-1}{z}$

だから、

$e^z=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}z+\frac{1}{2!}z^2+\frac{1}{3!}z^3+\cdots$

であることを、用いて、 ${1}$ を左辺に移して、

$e^z-1=\frac{1}{1!}z+\frac{1}{2!}z^2+\frac{1}{3!}z^3+\cdots$

となる。欲しいのは、これを、 ${z}$ で割った式。割っちゃって、いいのか？　まあ、やってみよう」

$\frac{e^z-1}{z}=\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}z+\frac{1}{3!}z^2+\cdots$

あれっ、これは、

$\frac{e^z-1}{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)!}z^n=\frac{1}{1!}z^0+\frac{1}{2!}z+\frac{1}{3!}z^2+\cdots$

ということで、整級数展開求められた」

若菜「やったね。結弦。じゃあ、今度は、私が。逆数だったのだから、

$\frac{1}{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)!}z^n}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{b_n}{n!}z^n$

だけど、左辺の分母を、両辺に掛けると、

$1=\biggl( \sum_{n=0} ^{\infty} \frac{1}{(n+1)! } z^n \biggr) \biggl( \sum_{n=0} ^{\infty} \frac{b_n}{n!} z^n \biggr)$

となる。これを、計算するのよね。『数学ガール』では」

結弦「お姉ちゃん、分かってるの？」

若菜「まず、和を、具体的に書く、

$1=\biggl(\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}z+\frac{1}{3!}z^2+\cdots \biggr) \biggl(\frac{b_0}{0!}z^0+\frac{b_1}{1!}z+\frac{b_2}{2!}z^2+\frac{b_3}{3!}z^3+\cdots \biggr)$

そして、次数の低い方から、式の展開をしていく。

$1=\biggl(\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}z+\frac{1}{3!}z^2+\cdots \biggr) \biggl(\frac{b_0}{0!}z^0+\frac{b_1}{1!}z+\frac{b_2}{2!}z^2+\frac{b_3}{3!}z^3+\cdots \biggr)$

$~~1=\biggl(\frac{1}{1!}+\cdots \biggr) \biggl(\frac{b_0}{0!}z^0 +\cdots \biggr) =b_0+\cdots$

$~~1=\biggl(\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}z+\cdots \biggr) \biggl( \frac{b_0}{0!}z^0+\frac{b_1}{1!}z+\cdots \biggr) =b_0+\frac{1}{2!}z \times \frac{b_0}{0!}z^0+\frac{1}{1!} \times \frac{b_1}{1!}z +\cdots$

$~~1=\biggl(\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}z+\frac{1}{3!}z^2+\cdots \biggr) \biggl( \frac{b_0}{0!}z^0+\frac{b_1}{1!}z+\frac{b_2}{2!}z^2+\cdots \biggr)$

$~=b_0+\frac{1}{2!}z \times \frac{b_0}{0!}z^0+\frac{1}{1!} \times \frac{b_1}{1!}z + \frac{1}{3!}z^2 \times \frac{b_0}{0!}z^0 + \frac{1}{2!}z \times \frac{b_1}{1!}z + \frac{1}{1!} \times \frac{b_2}{2!}z^2+\cdots$

と、なって行くんだけど、左辺を見てよ。ただの ${1}$ なのよ。だから、右辺は、最初の ${b_0}$ を除いて、全部、係数ゼロなのよ。だから、

$b_0=1$

$b_0+\frac{1}{2!}z \times \frac{b_0}{0!}z^0+\frac{1}{1!} \times \frac{b_1}{1!}z=b_0+\biggl( \frac{1}{2!}b_0+b_1 \biggr)z=1+\biggl( \frac{1}{2}1+b_1 \biggr)z=1$

だから、

$\frac{1}{2}+b_1=0$

より、

$b_1=-\frac{1}{2}$

と求まる。これを、どんどん高い次数に、進めていくと、ここからは、お父さんが、専門家ですね」

私「うん。この、一連の ${b_i}$ については、次のように、綺麗に漸化式が書ける」

$\frac{b_n}{n!}+\frac{b_{n-1}}{(n-1)!2!}+\cdots +\frac{b_1}{1!n!}+\frac{b_0}{(n+1)!}=0 ~~ ( \forall n \in \mathbb{N}-\{0\})$

　この、 ${b_n}$ は、ベルヌーイ数と呼ばれるので、 ${b}$ と書く。本人の没後１７１３年に刊行された『推測の技術』という本に、ベルヌーイが、書いていたからだ。リーマン・ゼータ関数の偶数での値を計算するのに、これが、非常に役に立つ。だが、それだけに、役立つのではない。若菜が、私を、専門家だと言ったのは、私が高校２年のとき、

$\sum_{k=0} ^n k^r$

の公式を、 ${r}$ が一般の自然数の場合に求めようとして、私が半年がかりで、この数列に辿り着き、私が太郎なので、太郎数ということで、 ${t_n}$ として、数学の担任の木村先生という人に、レポートとして提出した。これは、さらに河野先生という人が、証明を補ってくれて、広島県高等学校教育研究会（数学部会）の１９９０年の会誌第２５号に掲載された。私の印刷された、唯一のレポートである。だが、私は、上のように、漸化式として、すなわち、 ${0}$ の方から、順番に求めていくことしか、できなかった。いきなり、大きな ${n}$ を、与えられたとき、すぐに、 ${b_n}$ を答えることは、できないのだろうと、思っていた。しかし、誰もが不可能と思うことを、やってのける人が、いるもので、一般の ${n}$ について、いきなり ${b_n}$ を求める公式を作った人がいる。雑誌『数学のたのしみ』第８号（確率論の広がり）に、志賀浩二（しが　こうじ）さんが、『あんな話，こんな話　ベルヌーイ数の一般公式』という記事を書いたら、２カ月後の（隔月刊なので）第９号で、

あんな話，こんな話（補遺）

　前号の「あんな話，こんな話」でベルヌーイ数の一般公式について書いたら，それについて九州大学の金子昌信氏から，クロネッカーに遡る

$B_n=\sum_{m=0} ^n \frac{1}{m+1} \sum_{l=0} ^m (-1)^l \begin{pmatrix} m \\ l \end{pmatrix} l^n$

という公式があることを御教示いただいた。
　なお，この公式にはさまざまな variation があり，それについては

Gould : Explicit formulas for Bernoulli numbers, Amer. Math. Monthly 79(1972),44-51

に書かれているとのことである．

と、補遺を書かなければ、ならなくなった」

麻友「ちょっと、待って、 ${b_n}$ と、 ${B_n}$ の、関係は？」

私「先に言っちゃうと、 ${b_n}$ というのは、 $b_1=-\frac{1}{2}$ のときだけ、 ${0}$ ではないんだけど、 ${3}$ 以上の奇数のときは、全部 ${0}$ なんだ。だから、無駄を省くために、

${b_{2n}=(-1)^{n-1} B_n ~~~~(n \in \mathbb{N}-\{0\})}$

と置いて、 ${B_n}$ の方を、ベルヌーイ数と呼ぶこともある。マイナスを、掛けているのは、私が導いた方の小文字の ${b_n}$ の方は、やってみせると、

$\frac{b_n}{n!}+\frac{b_{n-1}}{(n-1)!2!}+\cdots +\frac{b_1}{1!n!}+\frac{b_0}{(n+1)!}=0~~(\forall n \in \mathbb{N}-\{0\})$

という漸化式で、

${n=0}$ では、さっきやったように、

${b_0=1}$

${n=1}$ として、

$\frac{b_1}{1!}+\frac{b_0}{2!}=0$

から、

$b_1=-\frac{1}{2}$

${n=2}$ として、

$\frac{b_2}{2!}+\frac{b_1}{1!2!}+\frac{b_0}{3!}=0$

で、 ${b_0=1}$ と、 $b_1=-\frac{1}{2}$ を代入して、

$\frac{b_2}{2}-\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{6}=0$

より、

$\frac{b_2}{2}=\frac{1}{12}$

だから、

$b_2=\frac{1}{6}$

と、求まる。もうちょっとやらないと、分からないね。

${n=3}$ として、

$\frac{b_3}{3!}+\frac{b_2}{2!2!}+\frac{b_1}{3!}+\frac{b_0}{4!}=0$

で、 ${b_0=1}$ と、 $b_1=-\frac{1}{2}$ と、 $b_2=\frac{1}{6}$ を代入して、

$\frac{b_3}{3!}+\frac{1}{6 \times 2!2!}+\frac{-1}{2 \times 3!}+\frac{1}{4!}=0$

より、

$\frac{b_3}{6}+\frac{1}{24}+\frac{-1}{12}+\frac{1}{24}=0$

だから、

$\frac{b_3}{6}=0$

から、

$b_3=0$

と、求まる。言ったでしょ、 ${3}$ 以上の奇数のとき、ゼロになるって。

　もう一回だけやろう。

${n=4}$ として、

$\frac{b_4}{4!}+\frac{b_3}{3!2!}+\frac{b_2}{2!3!}+\frac{b_1}{4!}+\frac{b_0}{5!}=0$

で、 ${b_0=1}$ と、 $b_1=-\frac{1}{2}$ と、 $b_2=\frac{1}{6}$ と、 ${b_3=0}$ を代入して、

$\frac{b_4}{4!}+\frac{0}{3!2!}+\frac{1}{6 \times 2!3!}+\frac{-1}{2 \times 4!}+\frac{1}{5!}=0$

より、

$\frac{b_4}{24}+\frac{0}{12}+\frac{1}{6 \times 12}+\frac{-1}{2 \times 24}+\frac{1}{120}=0$

だから、

$\frac{b_4}{24}+\frac{1}{72}+\frac{-1}{48}+\frac{1}{120}=0$

から、

$\frac{b_4}{1}+\frac{1}{3}+\frac{-1}{2}+\frac{1}{5}=0$

で、通分して、

$b_4+\frac{2}{6}+\frac{-3}{6}+\frac{1}{5}=0$

足し算して、

$b_4-\frac{1}{6}+\frac{1}{5}=0$

さらに、通分して、

$b_4-\frac{5}{30}+\frac{6}{30}=0$

足し算して、

$b_4+\frac{1}{30}=0$

だから、

$b_4=-\frac{1}{30}$

と、求まる。マイナスとプラスが交互に現れる、というのも、確かめられたね」

麻友「太郎さん、こんな計算、間違いなくできるの？」

私「そんな、神様みたいな人、いるわけないじゃん。答えが合わなくて、７回くらい計算やり直した」

若菜「ほっとします」

結弦「それで、リーマン・ゼータ関数の話は？」

私「今日は、許して。もう、１０４９０文字書いてて、２２時２１分なんだ」

麻友「出納帳の話もあって、今日は、面白かったわ」

私「じゃあ、解散」

　現在２０２０年８月６日２３時１８分である。おしまい。