相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。ブログの先頭に戻るには表題のロゴをクリックしてください

キラキラ星変奏曲(変奏6)

 現在2020年8月6日13時28分である。

麻友「今日は、早い時間から、始められたのね。昨晩は、よく眠れた?」

私「22時半頃眠ったけど、2:00頃、3:41頃、5:53頃、と、目が覚めてる。3時41分に、目が覚めたときに、冷房が効きすぎているのかなあ?と 思い、エアコンを切った。そうしたら、5:53に起きたとき、寝間着に、ぐっしょり汗をかき、寝間着を脱いで、昨日昼間着ていた服に着替えた。もう、起きるつもりだったが、眠くなり、6:59~7:32昼寝。また、汗をかいたので、エアコンをつけ、今日の服装にして、パソコンを始めようとするが、眠くなり9:30~11:26昼寝。それで、起きられて、昨日3合炊いた、釜飯の、残り1合半で、朝食。12時15分から、13時10分までかけて、一昨日、昨日の、出納帳をつける」

若菜「2日分の出納帳つけるのに、1時間掛かるんですか?」

私「普通の人は、レシートを元に、出納帳をつける。だが、私は、Suica で払ったものや、レシートがなくなってしまったものも、全部書いている」

結弦「どうやって?」

私「いくら言っても、信じないだろうから、見せてあげるよ。7月28日からのだ。

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若菜「これ、どう見るんですか?」

私「7月27日の5200と書いてある欄が、支出、その次の列が、収入、3200と、書いてある欄が、今財布にいくら入っているか」

結弦「貯金(5200)(0)(23,473)というのは?」

私「財布に入ってないけど、使えるお金が、5200円あるということ、0というのは、以前、Mathematica のために貯金してたとき、貯金のうち、他のことに使って良いお金として書いていたものの、名残。23,473というのは、Mathematica のために、貯金していて 3月25日の最大瞬間風速だよ」

麻友「貯めていたけど、他のことに使わざるを得なくて、取り崩しちゃったと、言ってたわね」

私「だから、これは、記念に書いてあるけど、こんなお金は、ない」


若菜「どうして、5200円も、貯金したんですか?」

私「7月30日に、貯金を財布に戻して、ヤクルトレディに、3178円払っているだろう。このためだよ」

結弦「ヤクルトレディって、お母さんが、コマーシャルやったから、『ヤクルト400』と、『ヤクルトのはっ酵豆乳』を、注文したって言うのだよね」

若菜「そうなんだ。だから、ほとんど1日に2回『ワンダ』ってあるのも、お母さんが、コマーシャルやったからなんだ」

私「きちんと、説明しておくとね、ワンダモーニングショットを飲むと、本当に、眠気が覚めるの。だから飲んでる。だけど、ワンダモーニングショットを、飲むとき、麻友さんと、間接キスしているんだと、思っているのは、本当。ヤクルトも、飲み始めたら、下剤がいらなくなった。だから、飲み続けている。麻友さんからのプレゼントだと思っている」

麻友「太郎さん、そんな秘かな楽しみを、公開しちゃうなんて」

私「言わなきゃ、伝わらないんだよ。

♪好きならば 好きだと言おう

♪誤魔化さず 素直になろう

♪好きならば 好きだと言おう

♪胸の内 さらけ出そう

(AKB48の歌『会いたかった』より)

だろう」

若菜「ポートへ行ったのも、京浜急行も、バス代も書いてある。どうして、支出と収入の両方に、 252 | Suica 252 | 1134  みたいに、書いてあるんですか?」

私「普通の人は、Suica にチャージした額だけ、出納帳に書いて、安心してしまう。だが、Suica の中身が、いくら遣われたか、書いておかないと、本当にお金をいくら遣ったのか、分からない。そこで、私は、-252+252 という意味で、財布からお金は減らないけど、自分が遣った額を、出納帳に書くことにしたんだ」

麻友「生活費とか、夕食費とか、ポート交通費とか、新聞代、とか、もらってるわね。3日を2000円で、生きているというのは、ウソだわね」

若菜「夕食費というのは、何なんですか?」

私「本来、生活費は、朝食、昼食、のためのもので、夕食は、実家へ行って、ご馳走になることに、なってた。ところが、新型コロナウイルス騒動のために、血液の免疫のガンである父が、私と会うと、寿命が縮まるなどと、母が言い出して、夕食を食べさせてもらえなくなった。それで、1日500円、3日で1500円、夕食費として、もらうこととなった」

結弦「一応、理由があるんだな」


麻友「『なぜか、500円多い』なんていうのも、あるわね」

私「人間が、自分の財布を管理しているから、『どうして、500円多いのだろう?』ということもある。この場合、後で分かったが、計算間違いしていた。ただ、ここで、どうも、1日に3回、ワンダモーニングショットを、買っていたようだと判明したので、書いてある。Excel で、管理していると、間違ったところを消してしまった場合、後で、分からない。シャーペンで、書いてあると、消しゴムで消しても、跡が残る。これが、重要。簿記などで、昔、つけペンで、帳簿をつけさせられたのは、不正を防ぐためだったと思う」


若菜「『3495冊』というのは?」

私「今までに、父のために作ってあげた、本のリストの総数」

結弦「あっ、次のページで、+16冊 になってる」


麻友「あっちこっちに、(残1487)とか、(残588)とか、あるのは、Suica の残高なのね」

私「まさにその通りだよ。オートチャージにしてないから、遣った額を計算すれば、残額が分かる。だけど、ときどき、履歴を印字して、比較しているよ」

麻友「ウーン、確かにこんなことやってたら、2日分でも、1時間かかるの、当然だわ。最後に聞かせて、一番下の、『4663(ギフト)』というのは、何?」

私「目の付け所が違うね。これは、『ハチミツとクローバー』の次の巻以下を、Kindleで買うための、アマゾンギフト券のチャージ残高だよ」

麻友「納得。『ハチミツとクローバー』どこまで読んだ?」

私「1巻の chapter.5 に入ったところ」

麻友「まだまだ、楽しめるわね」



私「こういう計算をするためだけに、数学はあるのではない。『キラキラ』の計算、再開するよ」

結弦「昨日、


*******************************


私「大丈夫だって。まず、整級数の収束半径というややこしい話が出て来るが、それは、オミット。

関数 {\displaystyle \frac{z}{e^z-1}} は、解析関数 {e^z} と、解析関数 {z} と、解析関数 {1} の足し算引き算掛け算割り算で、できているので、解析関数なんだ。

だから、

{\displaystyle \frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_n}{n!}z^n,~~~~(|z| \leqq 2 \pi)}

というように、整級数展開できるはずだと言うことになる」


*******************************


というやり取りが、あったけど、この、

{(|z| \leqq 2 \pi)}

というのが、収束半径とかいうものなの?」

私「そう。数列が、収束するか、発散するか、というのは、難しい問題で、数列が収束するかどうか判定するアルゴリズムはないと、結弦のお父さん、つまり甥のお父様、要するに、妹のご主人様が、言ってたように、覚えている」

若菜「さすが、情報科学科で、コンピューターに、詳しい」

私「この場合、原点から半径 {2 \pi } の円内の複素数で、収束するのだけど、それの証明は、取り敢えず今は、オミットするということだ。オミット、つまり、{\mathrm{omit}}(割愛する)ね」

麻友「整級数展開できるはずだと言ってるけど、この {b_i} とかいうのは、一通りに、決まるの?」

私「どんどん、聞いて良いよ。整級数展開の一意性、テイラー展開の一意性というのは、証明できるんだ。だから、この整級数の係数ということで、数列 {b_i} は、きちんと定義できる」


{\displaystyle \frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_n}{n!}z^n=\frac{b_0}{0!}z^0+\frac{b_1}{1!}z+\frac{b_2}{2!}z^2+\frac{b_3}{3!}z^3+\cdots,~~~~(|z| \leqq 2 \pi)}


麻友「ああ、こういう式なのね。具体的に書いてよ」

私「ごめん、いつもの数学者の常識で。さて、今度は、これの、逆数を、考える。割り算するだけだから、逆数も、解析関数。どういうことかと言うと、

{\displaystyle \frac{e^z-1}{z}=\frac{1}{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_n}{n!}z^n}=\frac{1}{\displaystyle \frac{b_0}{0!}z^0+\frac{b_1}{1!}z+\frac{b_2}{2!}z^2+\frac{b_3}{3!}z^3+\cdots}}

を、考えるということ」

若菜「計算したくないですね」

私「それは、右辺を見ているからだ」

結弦「左辺は、

{\displaystyle \frac{e^z-1}{z}}

だから、

{\displaystyle e^z=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}z+\frac{1}{2!}z^2+\frac{1}{3!}z^3+\cdots}

であることを、用いて、{1} を左辺に移して、

{\displaystyle e^z-1=\frac{1}{1!}z+\frac{1}{2!}z^2+\frac{1}{3!}z^3+\cdots}

となる。欲しいのは、これを、{z} で割った式。割っちゃって、いいのか? まあ、やってみよう」

{\displaystyle \frac{e^z-1}{z}=\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}z+\frac{1}{3!}z^2+\cdots}

あれっ、これは、

{\displaystyle \frac{e^z-1}{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)!}z^n=\frac{1}{1!}z^0+\frac{1}{2!}z+\frac{1}{3!}z^2+\cdots}

ということで、整級数展開求められた」

若菜「やったね。結弦。じゃあ、今度は、私が。逆数だったのだから、

{\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)!}z^n}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{b_n}{n!}z^n}

だけど、左辺の分母を、両辺に掛けると、

{\displaystyle 1=\biggl( \sum_{n=0} ^{\infty} \frac{1}{(n+1)! } z^n \biggr) \biggl( \sum_{n=0} ^{\infty} \frac{b_n}{n!} z^n \biggr) }

となる。これを、計算するのよね。『数学ガール』では」

結弦「お姉ちゃん、分かってるの?」

若菜「まず、和を、具体的に書く、

{\displaystyle 1=\biggl(\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}z+\frac{1}{3!}z^2+\cdots \biggr) \biggl(\frac{b_0}{0!}z^0+\frac{b_1}{1!}z+\frac{b_2}{2!}z^2+\frac{b_3}{3!}z^3+\cdots \biggr) }

そして、次数の低い方から、式の展開をしていく。

{\displaystyle 1=\biggl(\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}z+\frac{1}{3!}z^2+\cdots \biggr) \biggl(\frac{b_0}{0!}z^0+\frac{b_1}{1!}z+\frac{b_2}{2!}z^2+\frac{b_3}{3!}z^3+\cdots \biggr) }

{\displaystyle ~~1=\biggl(\frac{1}{1!}+\cdots \biggr) \biggl(\frac{b_0}{0!}z^0 +\cdots \biggr) =b_0+\cdots }

{\displaystyle ~~1=\biggl(\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}z+\cdots \biggr) \biggl( \frac{b_0}{0!}z^0+\frac{b_1}{1!}z+\cdots \biggr) =b_0+\frac{1}{2!}z \times \frac{b_0}{0!}z^0+\frac{1}{1!} \times \frac{b_1}{1!}z +\cdots}

{\displaystyle ~~1=\biggl(\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}z+\frac{1}{3!}z^2+\cdots \biggr) \biggl( \frac{b_0}{0!}z^0+\frac{b_1}{1!}z+\frac{b_2}{2!}z^2+\cdots \biggr) }

{\displaystyle ~=b_0+\frac{1}{2!}z \times \frac{b_0}{0!}z^0+\frac{1}{1!} \times \frac{b_1}{1!}z + \frac{1}{3!}z^2 \times \frac{b_0}{0!}z^0  + \frac{1}{2!}z \times \frac{b_1}{1!}z + \frac{1}{1!} \times \frac{b_2}{2!}z^2+\cdots}

と、なって行くんだけど、左辺を見てよ。ただの {1} なのよ。だから、右辺は、最初の {b_0} を除いて、全部、係数ゼロなのよ。だから、

{\displaystyle b_0=1}

{\displaystyle b_0+\frac{1}{2!}z \times \frac{b_0}{0!}z^0+\frac{1}{1!} \times \frac{b_1}{1!}z=b_0+\biggl( \frac{1}{2!}b_0+b_1 \biggr)z=1+\biggl( \frac{1}{2}1+b_1 \biggr)z=1}

だから、

{\displaystyle \frac{1}{2}+b_1=0}

より、

{\displaystyle b_1=-\frac{1}{2}}

と求まる。これを、どんどん高い次数に、進めていくと、ここからは、お父さんが、専門家ですね」


私「うん。この、一連の {b_i} については、次のように、綺麗に漸化式が書ける」

{\displaystyle \frac{b_n}{n!}+\frac{b_{n-1}}{(n-1)!2!}+\cdots +\frac{b_1}{1!n!}+\frac{b_0}{(n+1)!}=0 ~~ ( \forall n \in \mathbb{N}-\{0\})}


 この、{b_n} は、ベルヌーイ数と呼ばれるので、{b} と書く。本人の没後1713年に刊行された『推測の技術』という本に、ベルヌーイが、書いていたからだ。リーマン・ゼータ関数の偶数での値を計算するのに、これが、非常に役に立つ。だが、それだけに、役立つのではない。若菜が、私を、専門家だと言ったのは、私が高校2年のとき、

{\displaystyle \sum_{k=0} ^n  k^r}

の公式を、{r} が一般の自然数の場合に求めようとして、私が半年がかりで、この数列に辿り着き、私が太郎なので、太郎数ということで、{t_n} として、数学の担任の木村先生という人に、レポートとして提出した。これは、さらに河野先生という人が、証明を補ってくれて、広島県高等学校教育研究会(数学部会)の1990年の会誌第25号に掲載された。私の印刷された、唯一のレポートである。だが、私は、上のように、漸化式として、すなわち、{0} の方から、順番に求めていくことしか、できなかった。いきなり、大きな {n} を、与えられたとき、すぐに、{b_n} を答えることは、できないのだろうと、思っていた。しかし、誰もが不可能と思うことを、やってのける人が、いるもので、一般の {n} について、いきなり {b_n} を求める公式を作った人がいる。雑誌『数学のたのしみ』第8号(確率論の広がり)に、志賀浩二(しが こうじ)さんが、『あんな話,こんな話 ベルヌーイ数の一般公式』という記事を書いたら、2カ月後の(隔月刊なので)第9号で、



あんな話,こんな話(補遺)

 前号の「あんな話,こんな話」でベルヌーイ数の一般公式について書いたら,それについて九州大学の金子昌信氏から,クロネッカーに遡る

{\displaystyle B_n=\sum_{m=0} ^n \frac{1}{m+1} \sum_{l=0} ^m (-1)^l \begin{pmatrix} m \\ l \end{pmatrix} l^n}

という公式があることを御教示いただいた。
 なお,この公式にはさまざまな variation があり,それについては

Gould : Explicit formulas for Bernoulli numbers, Amer. Math. Monthly 79(1972),44-51

に書かれているとのことである.



と、補遺を書かなければ、ならなくなった」

麻友「ちょっと、待って、{b_n}と、{B_n} の、関係は?」

私「先に言っちゃうと、{b_n} というのは、{\displaystyle b_1=-\frac{1}{2}} のときだけ、{0} ではないんだけど、{3} 以上の奇数のときは、全部 {0} なんだ。だから、無駄を省くために、

{b_{2n}=(-1)^{n-1} B_n ~~~~(n \in \mathbb{N}-\{0\})}

と置いて、{B_n} の方を、ベルヌーイ数と呼ぶこともある。マイナスを、掛けているのは、私が導いた方の小文字の {b_n} の方は、やってみせると、

{\displaystyle \frac{b_n}{n!}+\frac{b_{n-1}}{(n-1)!2!}+\cdots +\frac{b_1}{1!n!}+\frac{b_0}{(n+1)!}=0~~(\forall n \in \mathbb{N}-\{0\})}

という漸化式で、

{n=0} では、さっきやったように、

{b_0=1}


{n=1} として、

{\displaystyle \frac{b_1}{1!}+\frac{b_0}{2!}=0}

から、

{\displaystyle b_1=-\frac{1}{2}}


{n=2} として、

{\displaystyle \frac{b_2}{2!}+\frac{b_1}{1!2!}+\frac{b_0}{3!}=0}

で、{b_0=1} と、{\displaystyle b_1=-\frac{1}{2}} を代入して、


{\displaystyle \frac{b_2}{2}-\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{6}=0}

より、

{\displaystyle \frac{b_2}{2}=\frac{1}{12}}

だから、

{\displaystyle b_2=\frac{1}{6}}

と、求まる。もうちょっとやらないと、分からないね。


{n=3} として、

{\displaystyle \frac{b_3}{3!}+\frac{b_2}{2!2!}+\frac{b_1}{3!}+\frac{b_0}{4!}=0}

で、{b_0=1} と、{\displaystyle b_1=-\frac{1}{2}} と、{\displaystyle b_2=\frac{1}{6}} を代入して、


{\displaystyle \frac{b_3}{3!}+\frac{1}{6 \times 2!2!}+\frac{-1}{2 \times 3!}+\frac{1}{4!}=0}

より、

{\displaystyle \frac{b_3}{6}+\frac{1}{24}+\frac{-1}{12}+\frac{1}{24}=0}

だから、

{\displaystyle \frac{b_3}{6}=0}

から、

{\displaystyle b_3=0}

と、求まる。言ったでしょ、{3} 以上の奇数のとき、ゼロになるって。


 もう一回だけやろう。

{n=4} として、

{\displaystyle \frac{b_4}{4!}+\frac{b_3}{3!2!}+\frac{b_2}{2!3!}+\frac{b_1}{4!}+\frac{b_0}{5!}=0}

で、{b_0=1} と、{\displaystyle b_1=-\frac{1}{2}} と、{\displaystyle b_2=\frac{1}{6}} と、{b_3=0} を代入して、

{\displaystyle \frac{b_4}{4!}+\frac{0}{3!2!}+\frac{1}{6 \times 2!3!}+\frac{-1}{2 \times 4!}+\frac{1}{5!}=0}

より、

{\displaystyle \frac{b_4}{24}+\frac{0}{12}+\frac{1}{6 \times 12}+\frac{-1}{2 \times 24}+\frac{1}{120}=0}

だから、

{\displaystyle \frac{b_4}{24}+\frac{1}{72}+\frac{-1}{48}+\frac{1}{120}=0}

から、

{\displaystyle \frac{b_4}{1}+\frac{1}{3}+\frac{-1}{2}+\frac{1}{5}=0}

で、通分して、

{\displaystyle b_4+\frac{2}{6}+\frac{-3}{6}+\frac{1}{5}=0}

足し算して、

{\displaystyle b_4-\frac{1}{6}+\frac{1}{5}=0}

さらに、通分して、

{\displaystyle b_4-\frac{5}{30}+\frac{6}{30}=0}

足し算して、

{\displaystyle b_4+\frac{1}{30}=0}

だから、

{\displaystyle b_4=-\frac{1}{30}}

と、求まる。マイナスとプラスが交互に現れる、というのも、確かめられたね」

麻友「太郎さん、こんな計算、間違いなくできるの?」

私「そんな、神様みたいな人、いるわけないじゃん。答えが合わなくて、7回くらい計算やり直した」

若菜「ほっとします」

結弦「それで、リーマン・ゼータ関数の話は?」

私「今日は、許して。もう、10490文字書いてて、22時21分なんだ」


麻友「出納帳の話もあって、今日は、面白かったわ」

私「じゃあ、解散」

 現在2020年8月6日23時18分である。おしまい。