『数学』というゲーム（その６） - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０１９年７月２９日１９時４２分である。

麻友「太郎さん。取り敢えず、書いちゃいなさい」

私「じゃあ、書かせてもらうよ」

　次の結果は，１７９４年に Legendre の著書「幾何学原論」 ${\acute{E} l \acute{e}ments\ de\ G\acute{e}ometrie}$ （これは，Galois の伝記のところでも述べたように，若き Galois に多大の影響を与えた）の中で、Legendre によって証明されたものである．

　６．３　定理

　実数 ${\pi^2}$ は無理数である．

　証明

　 ${\pi^2=a/b}$ と仮定しよう．ここで ${a,b \in \mathbb{Z}}$ で ${b \neq 0}$ ． ${f(x)}$ と ${G(x)}$ を次のように定義する：

${f(x)=x^n(1-x)^n/n!}$

${G(x)=b^n \{ \pi^{2n}f(x)-\pi^{2n-2}f''(x)+ \cdots +(-1)^n\pi^0f^{(2n)}(x) \}}$ ．

ここで， ${f}$ の右肩に書いてある文字は微分の回数を表わす． ${f(x)}$ は何回微分しても ${x=0}$ と ${x=1}$ で整数値をとることを示す．次の Leibniz の公式

$\frac{d^m}{dx^m}(uv)=\sum^m_{r=0} \binom{m}{r} \frac{d^r u}{dx^r} \frac{d^{m-r} v}{dx^{m-r}}$

をおもい出そう．因子 ${x^n,(1-x)^n}$ の微分回数が共に ${n}$ より小ならば，対応する項は ${x=0}$ または ${x=1}$ のとき ${0}$ となり，どちらか一方が ${n}$ 回以上微分されれば分母の ${n!}$ は打ち消される．

よって ${G(0)}$ と ${G(1)}$ は整数．さて， ${f(x)}$ は ${x}$ の ${2n}$ 次の多項式で ${f^{(2n+2)}(x)=0}$ であるから，

$\frac{d}{dx} \{G'(x) \sin \pi x - \pi G(x) \cos \pi x \}=\{G''(x) + \pi^2G(x) \} \sin \pi x$
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ${=b^n \pi^{2n+2} f(x) \sin \pi x}$

となり，これは

${\pi^2 a^n f(x) \sin \pi x}$

に等しい．それゆえ

$\pi \int^1_0 a^n f(x) \sin \pi x dx = \biggl[ \frac{G'(x) \sin \pi x}{\pi} - G(x) \cos \pi x \biggr]^1_0=G(0)+G(1)$

となって、これは整数である．前と同様に積分の値は ${0}$ でない．しかし

$\biggl| \int ^1_0 a^nf(x) \sin \pi x dx \biggr| \leq |a|^n \int_0^1|\sin \pi x ||f(x)|dx$

　　　　　　　　　　　 $\leq |a|^n \int^1_0 \frac{|x^n(1-x)^n|}{n!}dx$

　　　　　　　　　　　 $\leq \frac{1}{n!} \int_0^1|(ax)^n(1-x)^n|dx$

これは ${n \rightarrow \infty }$ のとき ${0}$ に収束する．したがって，前の場合と同様に矛盾をひきだして証明は完了する．

　証明終わり

私「ふーっ、書き切った」

麻友「現在２１時１６分。薬は、飲んだの？」

私「もちろん。２１時３分に、薬の写真を撮って、母にメールで送って、ちゃんと、飲んだ」

麻友「本当に、手のかかる子ねー」

私「鎌倉のとらいむへ行ってた頃、そこの所長さんだった人が、

『太郎君、『寝る子は育つ』って言うけど、『３年寝太郎』とも、言うのよ、寝たんなら、何かしなきゃならないのよ』

と、言っていた。それは、確かにそうだと思っている」

麻友「太郎さんは、レポート・論文の書き方講座に行ったりして、論文を書こうと思っているの？」

私「いや、論文は、当分書けない。１０年以上前に、私の恩師のひとり、佐々木節（ささき　みさお）さんに、研究者になるのは、諦めているのですが、分かり易い物理学の本を書きたいのですが、どうしたら良いでしょうと、直球で、尋ねたことがあった」

麻友「なんだって？」

私「『どこの大学でも良いから、大学院の物理学科に入って、自分の物理学を、整理しなさい』と、言われた」

麻友「太郎さんでも、大学院へ行く必要が、あると？」

私「私なんて、てーんで、駄目だよ。放送大学の面接授業で、微積分の授業を取ったとき、帰り道、先生に、『一般相対性理論の微分幾何の勉強をするには、やっぱり『小林－野水』ですかね？』と聞いたら、『画家が、パリへ行くのは、格好つけるためだけじゃないと思うよ』と、言われた。同じ志を持っている人と、切磋琢磨しないで、科学の研究なんて、できないんだね」

麻友「じゃあ、太郎さんも、大学院へ行くの？」

私「場合によっては、そういうことにもなるかも知れないけど、今の世の中には、インターネットが、ある。それに私は、湧源クラブの会員で、若い人が、今自分がどんな研究をしているのか、講演するのを聞く機会も、利用しようと思えば利用できる。大学院に拘らなくてもいい」

麻友「太郎さん。私と遊んでないで、もっと、真面目に、勉強しなきゃ」

私「同じことをするのでも、義務だと思って、辛い努力をして、成し遂げるのと、そのことを、何か楽しいことと結びつけて、喜びを感じながら、成し遂げるのでは、できあがったものも、大きく違うものになると思う。麻友さんは、私に取って、必要な人なんだ」

麻友「良く分からないけど、太郎さんの恋人は、数学の他に、私、渡辺麻友も、加わったという訳なのね」

私「そういうことだよ」

麻友「じゃあ、今晩は、寝ましょ」

私「おやすみ」

麻友「おやすみ」

　現在２０１９年７月２９日２１時５９分である。おしまい。