『数学』というゲーム（その１３） - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０１９年８月１６日１９時４４分である。

麻友「もう、半分過ぎてるのでしょう。最後まで、頑張って、証明しちゃったら」

私「よし、頑張ってやってみよう」

　前回の証明の最後から。

${0}$ は ${\theta}$ の根でないから ${c_r \neq 0}$ である．そこで

$f(x)=\frac{c^s x^{p-1} \{\theta(x) \}^p}{(p-1)!}$

とおこう．ここで ${s=rp-1 }$ で， ${p}$ は任意の素数とする．また

${F(x)=f(x)+f'(x)+\cdots +f^{(s+p)}(x)}$

と定義しよう．ここで ${f^{(s+p+1)}(x)=0 }$ に注意する．前と同様にして

$\frac{d}{dx}\{ e^{-x}F(x) \} =-e^{-x} f(x)$

を得る．よって

$e^{-x}F(x)-F(0)=- \int_0^x e^{-y} f(y)dy.$

ここで ${y=\lambda x }$ とおけば

$F(x)-e^x F(0)=-x \int_0^1 e^{(1- \lambda ) x} f(\lambda x) d \lambda .$

${x}$ を ${\beta_1 , \cdots , \beta_r }$ 上にわたって動かしてその和をとると， ${(3)}$ から

$\sum_{j=1}^r F(\beta_j)+kF(0)=- \sum_{j=1}^r \beta_j \int_0^1 e^{(1- \lambda) \beta_j} f( \lambda \beta_j) d \lambda~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)$

を得る．ここで，十分大きいすべての ${p}$ に対して左辺は ${0}$ でない整数となることを以下に示そう．さて ${0 < t < p}$ ならば

$\sum_{j=1}^r f^{(t)} (\beta_j)=0.$

次に ${0}$ でない項を得るには， ${\{ \theta (x) \}^p}$ を少なくとも ${p}$ 回微分しなければならないから ${p \leq t \leq s+p }$ なる ${t}$ に対して各微分 ${f^{(t)} (\beta_j)}$ は ${p}$ を因数にもつ．そのような任意の ${t}$ に対して

$\sum_{i=1}^r f^{(t)} (\beta_j)$

は次数が ${s}$ 以下の ${\beta_j}$ の対称式である。

　研究者注

　最後の式は、テキストでは、上のようにシグマの和が、 ${i}$ に付いて取られているが、正しくは、

$\sum_{j=1}^r f^{(t)} (\beta_j)$

である。

　注終わり

私「ごめん。眠くなって来ちゃった」

私「やっぱり、 ${\pi}$ の超越性は、大定理だ」

麻友「次回に回すのね」

　現在２０１９年８月１７日１７時０５分である。

麻友「証明、続けたら？」

私「分かった。今日こそ終わりだ」

　したがってそれは，定理　２．９により次数が ${s}$ 以下の係数 ${c_i/c}$ に関する多項式である． ${f(x)}$ の定義における因子 ${c^s}$ により，上の式は整数となる．よって ${t \geq p}$ のときは，適当な ${k_t \in \mathbb{Z}}$ に対して

$\sum_{j=1}^r f^{(t)}(\beta_j)=pk_t$

と書ける．さて ${F(0)}$ に注目しよう．適当な ${l_t \in \mathbb{Z}}$ に対して

${f^{(t)}(0)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0 ~~~(t \leq p-2) \\ c^sc_r^p~~~(t=p-1)\\ l_tp~~~(t \geq p) \end{array} \right.}$

したがって ${(4)}$ の左辺はある ${K \in \mathbb{Z}}$ に対して

${Kp+kc^sc_r^p}$

となる．ところで， ${k \neq 0 ,c \neq 0, c_r \neq 0}$ であるから

${p > \max ( k,|c|,|c_r| )}$

となるように素数 ${p}$ を選べば， ${(4)}$ の左辺は ${p}$ で割り切れない整数となるから，それは ${0}$ ではない．

　証明の最後の部分は，もうきまりきったものである： ${(4)}$ の右辺を評価する．さて

$|f( \lambda \beta_j)| \leq \frac{|c|^s |\beta_j|^{p-1}(m(j))^p}{(p-1)!}$

ここで、 $m(j)=\sup_{0 \leq \lambda \leq 1} |\theta( \lambda \beta_j)|$

したがって

$\biggl|- \sum_{j=1}^r \beta_j \int_0^1 e^{(1- \lambda) \beta_j} f( \lambda \beta_j) d \lambda \biggr|$

$\leq \sum_{j=1}^r \frac{|\beta_j|^p |c^s||m(j)|^p B}{(p-1)!}$

ここで

$B=\max_j \biggl|\int_0^1 e^{(1-\lambda)\beta_j} d \lambda \biggr|$

よって上の式は ${p \rightarrow \infty }$ のとき ${0}$ に収束する．これはいつものように矛盾だから， ${\pi}$ は超越数である．

証明終わり

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１９９０．６．２１　理解できた

私「終わったー」

麻友「太郎さんでも、こんなに、しんどいのね」

私「そりゃまあ、１８８２年まで、証明されてなかったことだから、中学や高校で習うこととは、比較にならない」

麻友「途中で、定理２．９とかいって、引用していた定理があったけど」

私「その定理の証明は、この本にないんだ」

麻友「じゃあ、どうするの？」

私「最初のときに、『微分・積分入門』と、『数Ⅲ方式ガロアの理論』の合わせ技一本で、証明できると、言ったでしょう」

麻友「そんなことを、言ってたわね。『数Ⅲ方式ガロアの理論』に、証明があるの？」

私「『数Ⅲ方式ガロアの理論』の第１４章は、『ウェアリングは知っている』という題だ。まさに、ウェアリングこそ、この対称式に関する基本定理を証明した人なのだ。この本では、１章さいて、証明している」

麻友「数学って、進めば進むほど、面白くなるのは、分かる。でも、自分の知識を、整理できないのよ。どこまでも、戻って、チェックしなければ、ならないみたいで・・・」

私「それは、どんなに優秀な数学者でも、抱えている問題だよ。『これを、自分は、ちゃんと証明したのだろうか』と、心配になる。だから、自分なりにまとめたノートを、書くようになる。そのノートも信じられなくなるのは、ちょっと数学から、離れすぎだね。私は、いくつか起点を、持っている。ひとつは、高校までに習ったことは、もう大丈夫でしょう。という起点で、『数Ⅲ方式ガロアの理論』は、この基準で、読んで行っている。それから、『数学基礎概説』で読んだところまでは、大丈夫でしょうという起点がある。これは、最近、頼るのが、辛くなってきている」

麻友「えっ、どうして、頼れないの？」

私「『数学基礎概説』は、結構読みにくい本だった。だから、証明しなければならないことが、有限個だった場合は、全部総当たりで、証明したりした。証明自体はあるんだけど、その事実の本質が分かっていないようで、気になっている部分が、何カ所かある」

麻友「じゃあ、そこだけ、証明を、改良したら？」

私「そんなに、簡単じゃ、ないんだよね。麻友さんだって、『大丈夫かな？』って、思うんだろ？　私は、麻友さんの１０倍以上、数学を知ってるんだから、その全体を、きちんと建設するのは、かなり、難しい」

麻友「じゃあ、どうしたいの？」

私「私は、神様から、時間をもらった。だから、一番理想的な、築き方ができるんだ」

麻友「一番理想的な、築き方って？」

私「論理学に関しては、安井邦夫の『現代論理学』、集合論に関しては、大芝猛の『数学基礎概説』、倉田令二朗の『数学基礎論へのいざない』『入門数学基礎論』、倉田令二朗、篠田寿一『公理論的集合論』を、もう一度、頭を整理しながら読み直そうと思っている」

麻友「何のために？」

私「何のためって、数学をきちんと築くためだよ」

麻友「どうして、集合論を完璧に分かってないと、数学が、できないの？」

私「ああ、そうか。私は、さすがにフォーシングはまだ分かってないが、集合論は、ほとんど分かってるんだ。だったら、もう他の数学に、どんどん挑戦すれば、良いんだな。まずは、『数Ⅲ方式ガロアの理論』。その後、ブルバキの代数以下に挑戦したって、いいんだよな」

麻友「太郎さんは、結局、何をしたかったの？」

私「結局、『実数』というものが、きちんとしたものかどうか、気になってたんだ」

麻友「それは、解決したの？」

私「してない」

麻友「エーッ！　じゃあ、後で、攻めてくるかも知れない」

私「実数に関しては、この本に、一応完成形が、書いてあるらしい」

Proof Theory: Second Edition (Dover Books on Mathematics)

作者:Takeuti, Gaisi
発売日: 2013/02/20
メディア: ペーパーバック

麻友「どういう本なの？」

私「『高階の論理のカット消去定理』が、証明されているらしい」

麻友「そうなると、どうなるの？」

私「実数論、さらに言うと、解析学の無矛盾性が、証明できるらしい」

麻友「それは、確かに、太郎さんがやりたかっただろうことは、分かる。でも、それは、もう、証明されちゃってる。太郎さんは、本当は、もっとどんどん計算したりして、新しいことを、開拓する方が、好きなんじゃない？」

私「そうなんだ。私が、ブルバキ全巻持ってたり、『アーベル多様体』を、買ったり、色んな物理学への応用の本を買ったのは、もっともっと新しいことを、開拓したかったからなんだ。ブルバキの最初の３巻に書いてあることに、拘っていたいわけでは、ないんだ」

麻友「ああ、良いこと、言った。じゃあ、太郎さん、眺めてるだけじゃなくて、まず、『数Ⅲ方式ガロアの理論』を、読みなさい。その後、本気で、ブルバキ最初から、読んじゃいなさいよ。現代的でないのなら、太郎さんが、好きなように、書き直しなさいよ。３冊くらいなら、どうやって読んだって、３年以内で終わるわよ。その後、ブルバキを、最後まで、読みなさいよ。そうすれば、いわゆる、基礎知識が、きちんと付くでしょう。もう恐いものないわ。神様がくれた時間を、こう使えば、何かの役に、立てられるかも知れないわ」

私「ひとつの新聞だけを見て、こんなことを言うのは、危険だけど、今日の朝日新聞の朝刊の一面トップは、妊婦の血液から採取した胎児のＤＮＡを調べて、遺伝病などを調べることを、問題にしていた。もちろん、子供を産もうかどうかと考えている、夫婦にとって、重要なことだ。一方、３面を開いたら、仮想通貨（今後、暗号資産と呼ばれるのかも知れないが）についての記事があった。私が、お金について、考えていることに、かなり近い。こうして、その新聞をみていると、各国が軍備を整えていて、戦争が起きるかも知れない、などと言うことは、とても、考えられないように、思える。今の社会に、もう戦争は起きないんだ、と、言っても良いのだろうか？」

麻友「太郎さんは、極端なのよね。でも、太郎さんくらい、一気に見方を変えられる人も、ときには、必要でしょうけど。でも、戦争は、当分起きないわ。それが、分かってるから、仮想通貨なんていうものが、取り上げられるようになったのよ」

私「そりゃそうだね。戦争が起こりそうな国と、仮想通貨で、貿易なんて、できないものね。麻友さん、鋭い」

麻友「太郎さん、暇すぎて、ボケてるのよ。私と結婚したら、もっと鍛えるわよ」

私「よろしく。まずは、９月２４日、楽しみにしてるよ」

麻友「じゃあ、待ってるわ」

私「じゃあ、今日は、おしまい」

麻友「ばいばい」

　現在２０１９年８月１７日２０時５０分である。おしまい。