「やっほー」の効果（その６） - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０１９年１０月１９日１６時０６分である。

麻友「まだ、発見したことが、あるの？」

私「何度も計算可能実数は、可算だと言ってきたが、そのことを証明していなかった」

若菜「証明できるんですか？」

私「こんな証明は、どうかな？」

　定理

　計算可能実数全体の集合のみならず実数全体の集合は、可算集合である。

　証明

　実数が、非可算であることを証明するために、対角線論法を用いたとしよう。

　実数が可算であるとして、 ${0}$ から ${1}$ までの全部の実数を１列に並べたとする。

${a_0=0.a_{00} a_{01} a_{02} \cdots}$

${a_1=0.a_{10} a_{11} a_{12} \cdots}$

${a_2=0.a_{20} a_{21} a_{22} \cdots}$

の対角線上の数字と、次のように異なる新しい実数 ${b=0. b_0 b_1 b_2 \cdots}$ を定義する。

${b_m= \left \{ \begin{array}{l} \displaystyle a_{mm}+1,\ a_{mm}\neq8,9 のとき\\ 1~~~~~~~~~~~~,a_{mm}=8 または 9 \end{array} \right.}$

　さて、通常の場合、この ${b}$ が、すべて並んでいるはずの上の列にない数だから、全部並べたという仮定が否定され、実数は非可算であるという証明が、完成する。

　だが、待って欲しい。実数とは、 ${n}$ を任意の自然数とするとき、小数点以下第 ${n}$ 桁目を決定できる数だとした場合、実数（らしき） ${b}$ を決定できるだろうか。いきなり『４７桁目』、とか言われて、４７番目まで表が完成していなかったら、それから実数を並べることになる。

　これを、良く考えると、実数（らしき） ${b}$ は、実数の中に存在しない。要するに実数でないのである。

　よって、この方法では、実数が非可算であることは、証明できない。

　証明終わり

結弦「非可算であることを、対角線論法を用いては証明できないということは、証明しているけど、可算だとは、証明してない」

私「さすが『数学は冒険』という世界から来ただけある。鋭いな」

若菜「可算だという証明は、できないのですか？」

麻友「太郎さんは、あれも可算、これも可算、というけど、本当に可算より多いものがあるの？」

私「これはね。可算より多い集合があるのは、確かなんだ。簡単なのは、

${\{f |f:\mathbb{N} \to \{0,1\} \}}$

というもの。自然数に ${0}$ か ${1}$ を対応させる関数全体の集合」

結弦「なんじゃこりゃ」

私「こう考えるといいんだ。２進数で、小数を表すと、０か１が、永遠に並んでるだろ。その表す数のひとつひとつなんだ」

麻友「だったら、実数全部と同じじゃない？」

私「いや、私が気付いたのは、今の自然数に ${0}$ か ${1}$ を対応させる関数全体は、非可算濃度だけど、実数と私達が確認できるものは、そのごく一部だ、ということなんだよ」

若菜「お父さんが、気付いたんですか？」

私「数学基礎論、今はロジックって言うんだけど、その専門家の間では、知られているだろうけどね」

麻友「関数としてはあるのに、実数としてないって、その小数は、どう並んでいるの？」

私「『「やっほー」の効果』にも書いたけど、４年前、

渡辺麻友様。２面もクリアした。新しい数を発見すると言ってもそれは実数なのだから以前の投稿で説明したように０．５とか、３．１４・・・のように、０から９の数字を並べて表せないといけない。新しい並べ方を生み出すということはカオスを生み出すということだ♡♡♡

というツイートをした。あのとき、このことに、薄々気付いていたんだ。実数として認めないと私が言った、もう少し柔らかく言うと、計算可能実数として認めないとした数の小数部分は、カオスになってるんだよ。混沌としていて、得体が知れない」

麻友「あのツイート！　「おはようございますまそん」　に対してのものだったのよね。あれ、スタッフがいたずらでやったものだったのよ。私が、太郎さんを好きになったのは、もっと後なの」

若菜「おっと、はっきり告白しちゃいましたね」

結弦「こりゃー、次は、『プラハ』のデートだな」

私「ねえ、どっちがいい？」

若菜「どっちって？」

私「混沌としたものも含めて、小数を全部、実数と呼び、一方で計算できるものだけを、計算可能実数と、呼ぶのと、・・・」

結弦「ああ、カオスでない計算可能実数だけを、実数と呼ぶか、だね。その場合、カオスはバッサリ？」

若菜「お父さんの一存で、決められるものなのですか？」

私「多分だけどね、ロジックの専門家の間では、統一的見解が得られているんだと思うんだ。だから、取り敢えず、カオスはカオスで、実数として置いといて、私達が、解析学をやるときは、計算可能実数 ${\mathrm{{}_c}\mathbb{R}}$ を全面に押し出して、理論を展開しよう」

麻友「分かったわ。あー、でも、デート。そう、太郎さん。安全に、私のメールアドレスを、誰にも後ろ指さされない形で、太郎さんに伝える方法は、ないかしら？」

私「はてなブログでは、コメントを書くとき、任意でメールアドレスを、書ける。ＵＲＬはニックネームにリンクが張られるが、メールアドレスは、非公開で、ブログ管理者の私にしか伝わらない。今まで４年半に４００回以上投稿書いているんだから、昔のでどれか気に入ったのに、ひと言コメントしてくれたら、嬉しいな」

麻友「ふふ」

若菜「手つないだこともないなんて、どこから、お勉強でしょうね」

結弦「これ、今の僕のくらいの歳のことを、言ってるんだな。

渡辺　うん、あの無邪気さはすごかった。カオスだったもん（笑）。

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」

麻友「『渡辺麻友　カオス』って、ググったのね。ゆきりんの写真、今まであったかしら？」

私「覚えてない。とにかく、デートなのね」

麻友「強引ね。分かったわよ」

若菜「柏木由紀さま、さま」

結弦「じゃあ、今日は２７２７文字で、終了」

若菜・結弦「おやすみなさい」

麻友「おやすみ」

私「おやすみ」

　現在２０１９年１０月１９日２１時０９分である。おしまい。