「やっほー」の効果（その５） - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０１９年１０月１６日１４時２３分である。

麻友「太郎さん。楽しそうね」

私「静かに、いくつも発見している」

若菜「新発見なんですか？」

私「いや、新発見ではなく、１９１５年にレーヴェンハイムが、１９２０年にスコーレムが、それぞれ発見したことからなる、レーヴェンハイム・スコーレムの定理というものの系みたいなもの」

結弦「今日は、時間があるから、ちょっと話してよ」

私「じゃあ、具体例を作りながら、話してみよう。

${\mathbb{R}}$ が、可能性全部集めた、実数の集合としたよね。そして、

${\mathrm{{}_c}\mathbb{R}}$ が、小数点以下第 ${n}$ 桁目が決定できる計算可能実数の集合としたよね」

若菜「その辺は、覚えています」

私「ところで、若菜と結弦が来る前、麻友さんと私が、本当にまだ出会ったばかりの頃、『実数体というものは、本質的に１つしかない』ということを、話し始めたことがあるんだ」

若菜「お二人は出会ったばかりから、数学の話を、していたんですか？」

結弦「どの投稿？」

私「『『解析入門Ⅰ』§３問題５）』で、（その６）まである。『「やっほー」の効果』より前の投稿だ。今日の話は、特に『『解析入門Ⅰ』§３問題５）（その５）』の記事に関係している」

結弦「カチャカチャ。『解析入門Ⅰ』で、実数の公理が１７個あるとか、言ってる」

若菜「『まゆゆ星』とか、まだ、出会って間もないふたりだって、読んでて分かりますね」

私「出会って間もない二人の不器用なやり取りを、形容するには、どんな言葉を使ったら良いのかなあ？　麻友さんと私の場合『ほやほや』でもないんだよなぁ」

若菜「これは、実在のお母さんに対してのご指名の質問ですね」

麻友「　（解　答　欄）　　　は、どうかしら？」

結弦「蟷螂の斧（とうろうのおの）って、何？」

麻友「太郎さんに言われて、電子辞書で、語彙を増やしているんだけど、これは、中国の漢文に、起源があるの。斉（せい）の荘公（そうこう）が、出猟した際、道ばたに居たカマキリが通すまいとして前足をあげてこれを防ぎ止めようとしたのを、荘公が勇者なりとして、これを避けて通った故事に基づいて、かなうわけない抵抗のことらしいわ。太郎さん、何でこの言葉、知ったの？」

私「京都で発狂して、横浜に戻ってきた後、ほとんど何もできなかった。数学の本を全文写ししていたら、父か母が、数学の本よりは、新聞の社説でも写せ、と言ったので、何日か、全文写した。そのとき、社説にあった言葉なんだ」

麻友「太郎さんには、時間があったのね」

若菜「そろそろ、計算可能実数を」

私「まず、有理数は、循環小数で表せるんだから、全部、計算可能実数だよね。だから、 ${\mathbb{Q} \subset \mathrm{{}_c}\mathbb{R}}$ だ」

結弦「あっ、そうか。何桁目でも、割り算するだけで、求まるんだものな、分数は」

私「それから、計算可能実数同士を、足したり引いたり掛けたり割ったりしたものも、計算可能実数だよな」

若菜「ある程度、想像できます」

麻友「そういうのを、体（たい）っていうのよね。『数Ⅲ方式ガロアの理論』を読むまでは、使っちゃいけないらしいけど」

私「それからさらに、大小関係が定義できないなんてことはないから、順序体というものになる。結局、連続の公理を満たせば、 ${\mathrm{{}_c}\mathbb{R}}$ は実数の公理を全部満たすことになる」

若菜「連続の公理って、カチャカチャ、こういうものですね」

（Ｒ　１７）実数体 ${R}$ の，上に有界な任意の部分集合 ${A \neq \emptyset}$ に対して， ${A}$ の上限（最小上界） ${s= \sup A}$ が ${\mathbb{R}}$ の中に存在する．

麻友「これは、要するに、上に有限な集合の、上の縁が、実数として存在するという条件なのよ」

結弦「だとすると、この文章で、 ${\mathbb{R}}$ を、 ${\mathrm{{}_c}\mathbb{R}}$ で置き換えたものが、成立すれば良い」

私「ここが要だから、丁寧に説明しよう。まず分かっていると思うが、 ${\mathbb{R}}$ は、可能性全部集めたものだったのだから、 ${\mathrm{{}_c}\mathbb{R} \subset \mathbb{R}}$ だな」

若菜「計算可能実数は、実数の部分集合」

私「今、計算可能実数の任意の部分集合 ${A \neq \emptyset}$ を取ると、これは、実数の部分集合でもあるな」

麻友「ということは、 ${A}$ の実数としての上限 ${\sup A}$ は、少なくとも、実数としては、存在しているわね」

私「そうだ。問題は、これが、計算可能実数かどうか」

結弦「追い詰めたけど、最後の一手は？」

麻友「私達では、どうすることも、できないわね」

私「こういうことは、ある程度慣れが必要なんだ。これから私は、あるアルゴリズムを用いて、この ${\sup A}$ を計算して見せる。このアルゴリズムを、区間縮小法（くかんしゅくしょうほう）という」

若菜「区間を縮小するとは、どんどん狭い範囲に追い込んでいって、小数点以下第 ${n}$ 桁目を、決定するということですか？」

私「そういうことだ。まず、実数直線を、整数で、区切る」

　－１　　　　　　　　０　　　　　　　　　１　　　　　　　　　２
──────────────────────────────────────＞

　　＜────── ${A}$ ───────＞

若菜「あっ、分かってきた。 ${A}$ の入っている区間の中で、一番右のものが、 ${0}$ と ${1}$ の間の区間だから、 ${\sup A}$ の整数部分は、 ${0}$ 。次は、これを、 ${10}$ 等分するんですね」

私「そう」

　－１　　　　　　　　０　　　　　　　　　１　　　　　　　　　２
─────────────────────────────────────＞
　　　　　　　　　　0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
　　＜─────── ${A}$ ───────＞

結弦「0.6 と 0.7 の間みたいだな」

若菜「じゃあ、小数点以下第１桁目は、６ということになりますね」

麻友「ちょっと、待って。 ${A}$ は、本当は集合なのよ。こんな風にのっぺりと広がってるかどうかは、分からないはずよ」

私「さすが、特待生。冴えに冴えている。実は、この部分、さっき１５時頃から３０分くらい、かなり考えて生み出した部分なんだ」

麻友「太郎さんも、疑問に思ったの？」

私「実数論で、区間縮小法を使うっていうのは、常識なんだ。でも、実数かどうか分かっていない ${\mathrm{{}_c}\mathbb{R}}$ に対して使っていいのかな？　って、考えた」

麻友「結論は？」

私「その結論が、途中にあった、

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

私「今、計算可能実数の任意の部分集合 ${A \neq \emptyset}$ を取ると、これは、実数の部分集合でもあるな」

麻友「ということは、 ${A}$ の実数としての上限 ${\sup A}$ は、少なくとも、実数としては、存在しているわね」

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の部分に、表れている。確かに存在して、さらに、小数点以下第 ${n}$ 桁目を、求められる。というのが、このアルゴリズムの目指していたことなんだ」

結弦「うー、２０４２年に１２歳で、『数学は冒険』という世界から来た僕でも、この冒険は、きつ過ぎる」

若菜「中学生の語彙を、はるかに越えてますね」

私「アハハ、私も高校生になるまで、『語彙』なんて言葉も概念も、知らなかったよ。今日話したことは、私が大学にいたときの頭でも、分からないことだと思う」

麻友「太郎さん、京都から帰ってきて、頭リセットされた後に、大学までのことを復習して、さらに先まで、勉強したってこと？」

私「そうだよ。今でも、進み続けている。計算可能実数なんて、ここまで進歩すると、思わなかった」

結弦「結局、この計算可能実数というので、何がやりたかったの？」

私「丁寧にいうと、『第１階の理論Ｓがモデルをもてば，それは可算モデルをもつ』というのが、最初に話した『レーヴェンハイム・スコーレムの定理』なんだけど、さらにこれから、『実数の公理を満たす可算モデルが、存在する』ということが、導ける。普通実数というのは、可算より多い集合のはずなのに、可算個の元の集合で、実数の公理を全部満たす集合があるのが、どうしてだろうと、気になっていた。あるのなら、その集合を作ってみたいと思っていた。それを、実際作ったのが、計算可能実数で、本当に実数の公理を満たすことを証明したのが、今日だったわけだ」

麻友「えっ、じゃあ、できたて？」

私「証明できてから８時間も経ってないよ（現在は２０１９年１０月１６日１８時１７分である）」

若菜「お父さんといると、本当に数学が、冒険になります」

結弦「すっげーライヴ感。半端ない」

麻友「これが全部、系なんて、レーヴェンハイム・スコーレムの定理って、凄い定理ねえ。ちょっと、聞いて良い？　太郎さんは、１を定義して、それから加法を使って、自然数を作った。そして、座標を使って、整数を作った、有理数も似たように作ると言ってた。多分割り算が必要なはずよね。そうすると、有理数から計算可能実数を、作るということが、できるのかしら？」

私「それを、今、考えていた。私は、いつも、実際に作らないと、満足しない。当然、計算可能実数全体の集まり ${\mathrm{{}_c}\mathbb{R}}$ を、作りたい。そこで、考えたのが、麻友さんが『有理数を作るのに、割り算が必要なはずよね』と言ったように、有理数から計算可能実数を作るには、自然数に加法減法乗法除法の他に、極限を取る操作を、加えるというのは、どうかと思うんだ」

麻友「極限って、 $\sum_{n=0}^{\infty}$ みたいなの？　そんなことしたら、普通の実数まで、行っちゃわない？」