問題７，８ - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０２０年２月１５日１４時３２分である。

麻友「そういえば、問題５と問題６なんてのも、出されていたわね」

若菜「教員採用試験から、 ${\sqrt{3}}$ が無理数だと示せとか」

結弦「１メートルを、大雑把に測れというのもあったな」

私「やっぱり、若いと、覚えているな。その若いときの記憶力は、詩を暗唱するのなどに、活かすといいぞ」

麻友「太郎さん。漢詩を暗唱できるのよね」

私「もう『ホーキング・エリス』は、完成してて、私が訳せなかったのも、なんとかなったから、安曇野へ社長宅に招かれたときの話を書いても、戦友も怒らないだろう」

若菜「漢詩と関係あるのですか？」

私「中学の頃から、いくつも漢詩を見てきているが、月を詠んだ漢詩は多いが、星を詠んだ漢詩は少ない。私が暗唱しているのは、李白（りはく）の『望廬山瀑布（ろざんばくふをのぞむ）』という七言絶句ただひとつだ。そこで、安曇野に着いて、社長に色々案内してもらった後、ホテルに着いて、温泉の湯船に浸かりながら、真面目に、『私は、統合失調症で、発病の原因のひとつは、失恋です。渡辺麻友さんを好いていますから、訳出の途中で、振られれば、再発の可能性もあります』と、話した。その後、『プレアデス出版ですから、星がお好きなのですね。でも、中国の漢詩で、星を詠んだ漢詩は、少ないんですよ。月を詠んだ漢詩は、例えば、

挙　牀
頭　前
望　看
山　月　　　静
月　光
　　　　　　夜
低　疑
頭　是　　　思
思　地
故　上
郷　霜
　　　　　　李
　　　　　　白

李白の静夜思（せいやし）という五言絶句（ごごんぜっく）『牀前（しょうぜん）月光をみる、疑うらくは、これ地上の霜（しも）かと、頭を（こうべを）あげて山月（さんげつ）を望み（のぞみ）、頭をたれて故郷を思う』

という漢詩がありますし、他に、『子夜呉歌（しやごか）』、『竹里館（ちくりかん）』、『蛾眉山月歌（がびさんげつのうた）』、『楓橋夜泊（ふうきょうやはく）』にも、月は詠まれています。でも、星はほとんどないんです』と、『静夜思』を暗唱した」

結弦「お父さん。漢字まで完璧におぼえているの？」

私「メロディーで、覚えている。漢字は、漢詩の本から、今写した」

若菜「漢詩も、百科事典とか、持っているんですか？」

私「私は、そこまでは、してないよ。高校のときの、漢詩の参考書、一冊だけ」

麻友「でも、いくつも暗唱してる。好きだったのね」

私「数学と違って、命かけてないから、気楽に覚えられる」

結弦「お父さん、数学も、その程度にすればよかったのに」

私「星を詠んだ漢詩が少ないからと、ムキになるところに、科学に対する私の姿勢が表れている」

若菜「さっき言ってた、星を詠んだ漢詩ですか？」

私「お風呂から上がって、夕食を食べながら、『さっきは、月の漢詩でしたが、私が知っている唯一の星を詠んだ漢詩は、

飛　日
流　照
直　香　　　望
下　炉
三　生　　　廬
千　紫
尺　煙　　　山

疑　遥
是　看　　　瀑
銀　瀑
河　布　　　布
落　挂
九　長
天　川
　　　　　　李
　　　　　　白

李白の『望廬山瀑布（ろざんばくふをのぞむ）』という漢詩で、『日は香炉（こうろ）を照らして紫煙（しえん）を生ず、遥かに看る（みる）瀑布（ばくふ）の長川（ちょうせん）を挂（か）くるを、飛流（ひりゅう）直下三千尺（ちょっかさんぜんじゃく）、疑うらくはこれ、銀河の九天（きゅうてん）より落つるかと』

というのしか、知らないですね』と、暗唱したので、戦友は、ビックリした」

結弦「そりゃー、びっくりするよ。お母さんだって、この投稿読んで、びっくりしてるでしょ」

麻友「太郎さんって、そういう人なの。上の『香炉というのは？』と、聞くだけで、清少納言まで、語ってくれるのよ。瀑布っていうのは、滝よね」

私「そうだよ。漢詩って、中国の文法で書かれてるのに、訓点を打つと、日本語として読めるって、凄いよね」

若菜「数学も、訓点を打って、誰でも読めるように、できませんか？」

私「訓点ではないけど、推論規則は１４個だけ、公理は２４個だけにして、それだけを使って、現代の数学の９９パーセントを、書き切るという試みを、始めているんだ。日本語を読んでて、どうしても分からないときというのは、ある意味高級言語のプログラムが読めなくて分からない場合だ。そういうとき、そのプログラムを逆アセンブルすれば、アセンブリソース言語の、足し算とか、メモリから読み出しなどだけの、幼稚園生レヴェルの文法の、ニーモニックになる。時間は掛かるけど、そのプログラムが、何をしようとしているか分かる。ウィルスプログラムでも、内容が読めてしまう。数学で、それをやるのだが、数学ができない人、特に数学が嫌いな人というのは、数学のために努力しようという気がない。そんな人間は、相手にしなくとも良いのだが、数学で、分からなかったことが分かった、というときの喜びを、何度か味わったら、病み付きになるんだけどね。その一番下の段階の言葉で、数学を書いたのが、ブルバキの『数学原論』なんだけど、私は、それが絶版にならない世の中にしたい」

麻友「太郎さんは、星の集まり、つまり銀河で、満足したのね。前から気になってるんだけど、『天の川銀河』っていう言葉が、あるじゃない。『銀河銀河』って言ってる気がしない？」

私「ああ、天の川、つまり、空の綺麗なところで、ミルクをこぼしたように、空に、広がっている白い帯を、天の川って言って、これを、銀河とも呼んでいる。星の流れのようだから。一方で、星がたくさん集まった、アンドロメダ大星雲のようなものも、銀河と呼ぶ。だから、『天の川銀河』は、『銀河銀河』みたいに言っているように、思うのだろう。これは、『天の川銀河』という言葉の由来を、考えると解ける謎だ。銀河というのは、たくさんあるんだよ。アンドロメダ大星雲も、オリオン座大星雲も、この銀河系も。そして、それらの中で、私達がいる銀河、これを普通、銀河系というのだけど、これを、特に指していう場合は、この銀河系の中に、我々が実際いるので、周りの星達が、グルッと一周帯のように、密になって見える、天の川になってるので、天の川として見える銀河ということで、『天の川銀河（あまのがわぎんが）』と、呼ぶんだよ」

麻友「銀河系と言っても良いのね？」

私「そうだよ」

結弦「問題は？」

私「そうだったね。問題５、麻友さん解いた？」

麻友「これが、解けないと、高校生になれないのよね。中学で習う、標準的な解き方をしたわ」

　問題５．

　 ${\sqrt{3}}$ は無理数である事を証明せよ．

　　　　　　　　　　　　　　　　（岩手県高校教員採用試験）

　　　　　　　　　　　　　　　　（梶原壤二『改訂増補　独修微分積分学』（現代数学社）ｐ．２０　問．１４　より）

　麻友さんの解答

　 ${\sqrt{3}}$ が、有理数であるとする。これは、『 ${\sqrt{3}}$ が無理数でないとする』というのとは、同値でないと、太郎さんは、言ってたわね。

　有理数だとすると、既約な整数 ${p,q}$ を用いて、

$\sqrt{3}=\frac{q}{p}$

と表せる。

　ここで、両辺２乗する。

$3=\frac{q^2}{p^2}$

となる。

　両辺に ${p^2}$ をかけて、

$3p^2=q^2$

　ここで、左辺は３の倍数だから、右辺の ${q^2}$ も、３の倍数。３は素数だから、これ以上分けられない。だから、 ${q^2}$ の両方の ${q}$ が、３の倍数。従って、整数 ${q'}$ を用いて、

${q=3q'}$

と、書ける。この ${q}$ を、 $3p^2=q^2$ に代入すると、

$3p^2=(3q')^2$

$3p^2=9q'^2$

となる。両辺を、３で割ると、

$p^2=3q'^2$

となり、 ${p^2}$ は、３の倍数となる。改めて、３は素数だから、 ${p^2}$ が、３の倍数なら、これ以上分けられないので、両方の ${p}$ が、３の倍数である。

　ここで、私達は、

　有理数だとすると、既約な整数 ${p,q}$ を用いて、

$\sqrt{3}=\frac{q}{p}$

と表せる。

としていた。

　整数 ${p,q}$ は、既約なはずだった。つまり、最大公約数は、１のはずだった。ところが、 ${p,q}$ の両方が、３の倍数だという結論が得られた。これは、仮定と矛盾している。

　従って、仮定は、誤りであり、既約な整数 ${p,q}$ によって、

$\sqrt{3}=\frac{q}{p}$

とは、表せない。

　従って、 ${\sqrt{3}}$ は、有理数ではなく、無理数である。

　証明終

麻友「どうかしら」

私「お見事。特待生らしい、素直な解答だ」

麻友「本の模範解答は？」

　梶原さんの模範解答

　背理法によって証明し， ${\sqrt{3}}$ が有理数であることより矛盾を導きだす． ${\sqrt{3}}$ が有理数であれば，二つの自然数 ${p',q'}$ の商として $\sqrt{3}=\frac{p'}{q'}$ で表される．この時， ${p',q'}$ の最大公約数を ${d}$ とし， $p=\frac{p'}{d}$ ， $q=\frac{q'}{d}$ とおくと， ${p,q}$ も自然数で、 ${1}$ 以外の共通の因数を持たない，すなわち，互に素である．この様に修正した ${p,q}$ に対して $\sqrt{3}=\frac{p}{q}$ が成立し，両辺を自乗して $3=\frac{p^2}{q^2}$ ．移項して， $p^2=3q^2$ ． ${3}$ は素数で， ${p^2=p \times p}$ を割るので， ${p}$ 自身を割らねばならない．したがって ${p}$ の ${3}$ による商 ${m}$ は自然数であり， ${p=3m}$ ．これを ${p^2=3 q^2}$ に代入して， ${9m^2=3q^2}$ ，すなわち， ${q^2=3m^2}$ と同じ式を得るので， ${q}$ の ${3}$ による商 ${n}$ は自然数であり， ${q=3n}$ ．この様にして， ${p=3m,q=3n}$ を得るが，これは ${3}$ が ${p,q}$ の公約数であることを意味し， ${p,q}$ が互に素である様に作ったことに反し，矛盾である．ゆえに ${\sqrt{3}}$ は有理数でなく，無理数でなければならない．

麻友「やっぱり、私のより、厳密ね」

私「最初から模範解答を書けるようになろうと、思わない方がいいよ。数学を楽しむことの方が、長続きさせるには、重要だよ。麻友さんの解答も、十分厳密だよ」

麻友「問６は？」

私「こんなのだったよね」

　問題６．

　１メートルという長さを、物差しや、メジャーがなくても、大雑把に測る方法を、探してみよ。（余り悩みすぎなくて良い）

麻友「こんなのを、考えたわ。

　麻友さんの解答

私は、身長が１５６ｃｍ。だから、頭のてっぺんから地面まで、紐をたらして、１５６ｃｍだけ測り取って、その後３分の２にする。

どうかしら？」

私「それで、良いんだよ。グッド」

若菜「お父さんの解答は？」

私「昔、中学生くらいの頃、ハイキングの心得が書いてある本で、読んだことなんだ。

　私の解答

まず、右手を、右にまっすぐ伸ばすんだ。そうして、左手を左にまっすぐ伸ばすと、１８０ｃｍ近くなるんだけど、ここで、左手を肘から１８０度右手の側に戻して、胸の前に持ってくると、右手の指先から、左手の指先までが、誰でも大体、１ｍになるっていうんだ。読んだとき、実際に試したら、本当にそうなったので、それ以来、活用してる。

どうかな」

結弦「なんだ、お父さんの解答も、そんな、いい加減なのだったんだ」

私「だから、余り悩みすぎなくて良いって、書いたじゃない」

若菜「２０パーセントくらい違っててもいいんですね。お父さんの問題は」

私「オーダー、つまり、数値の位（くらい）が、合ってればいいんだよ」

麻友「わかったわ。新しい問題？」

　今回の問題は、次のものとする。

　問題７．

　次の計算をした結果として正しいものを，それぞれあとの１～４の中から１つ選び、その番号を答えなさい。

$\sqrt{28}+\frac{49}{\sqrt{7}}$