相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。ブログの先頭に戻るには表題のロゴをクリックしてください

キラキラ星変奏曲(変奏11)

 現在2020年8月21日4時17分である。

麻友「今日も、早く起きちゃったの?」

私「3時28分に、目が覚めちゃった」

若菜「京野先生の、『危険な状態なので』というのは、どうなんですか?」

私「あれ、原因がほぼ特定できているんだ」

結弦「どんな原因?」

私「あのとき、16進数で、ゼータ関数を表せば、{\zeta(3)} が、厳密に分かって、超越数だと証明できて、アーベル賞が、もらえるんじゃないかと、一時的にもの凄く興奮してたんだ。だから、もの凄くハイになっちゃてた。でも、Mathematica で、計算して、駄目そうと分かって、落ち着いたので、今は、かなり、正常に戻ってる」

麻友「自分で、自分が、ハイになってるとか、分かるの?」

私「お酒を飲んで、自分が酔ってるというのが分かるように、ある程度、分かるんだ。ただ、深酒して、記憶が飛ぶくらいになると、自分でも分からなくなるように、あまりにハイになると、自分がハイになってることが、分からないほどになり、入院ということになっちゃう」

若菜「精神を病むって、そういうことなんですね」

麻友「じゃあ、今、正常な頭で、キラキラやってよ」

私「分かった」


私「まず、昨日の復習から。オイラーの公式を、

{e^{i \theta}=\cos \theta + i \sin \theta}

{e^{-i \theta}=\cos \theta - i \sin \theta}

と、二通りに書いた。大丈夫?」

結弦「まだ、昨日のことを忘れるほど、ボケてない」

私「じゃあ、このふたつの式を、足し合わせる。

{e^{i \theta}+e^{-i \theta}=2\cos \theta }

となるね。両辺 {2} で割ると、

{\displaystyle \frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}=\cos \theta }

となる。{\cos} が、指数関数で、表せる」

若菜「ああ、そうですね。だったら、足すのではなく、引けば、

{e^{i \theta}-e^{-i \theta}=2i \sin \theta}

と、なりますから、

{\displaystyle \frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2i}= \sin \theta}

ですね。{\sin} も、{\cos} も、指数関数で、表せるわけですね」


私「そう。そして、(変奏9)で、話したが、{\displaystyle \frac{x}{\tan x}} という関数、同じ事だが、{x \cot x} という関数のテイラー展開を、二通りの方法で、求めるため、

{\displaystyle \frac{z}{2} \cot \frac{z}{2}=\frac{z}{2}\frac{1}{\displaystyle \tan\frac{z}{2}}}

という関数を、計算する」

結弦「やってあげるよ。

{\displaystyle \frac{z}{2}\frac{1}{\displaystyle \tan \frac{z}{2}}=\frac{z}{2}\frac{1}{\displaystyle \frac{\displaystyle \sin \frac{z}{2}}{\displaystyle \cos \frac{z}{2}}} =\frac{\displaystyle \cos \frac{z}{2}}{\displaystyle \sin \frac{z}{2}}=\frac{z}{2}\frac{\displaystyle \frac{e^{i \frac{z}{2}}+e^{-i \frac{z}{2}}}{2}}{\displaystyle \frac{e^{i \frac{z}{2}}-e^{-i \frac{z}{2}}}{2i}}}


{\displaystyle =\frac{iz}{2} \frac{\displaystyle e^{i \frac{z}{2}}+e^{-i \frac{z}{2}}}{\displaystyle e^{i \frac{z}{2}}-e^{-i \frac{z}{2}}}}

だから、分母分子に{\displaystyle e^{i \frac{z}{2}}} をかけて、

{\displaystyle =\frac{iz}{2} \frac{\displaystyle e^{i z}+1}{\displaystyle e^{i z}-1}}

この後、どうするのかな?」

若菜「分子を、もっと簡単にできる。

{\displaystyle \frac{iz}{2} \frac{\displaystyle e^{i z}+1}{\displaystyle e^{i z}-1}}

{\displaystyle =\frac{iz}{2} \frac{\displaystyle e^{i z}-1+2}{\displaystyle e^{i z}-1}}

として、

{\displaystyle =\frac{iz}{2} \biggl(1+\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle e^{i z}-1} \biggr) }

だから、さらに、

{\displaystyle =\frac{iz}{2} +\frac{\displaystyle iz}{\displaystyle e^{i z}-1}}

とできる。これは、・・・」

麻友「あっ、昨日定義した、

{\displaystyle f(z)=\frac{z}{e^z-1}}

よ。虚数単位 {i} が、かかっているけど。だから、

{\displaystyle =\frac{iz}{2} +f(iz)}

となる。結局、

{\displaystyle \frac{z}{2} \cot \frac{z}{2}=\frac{z}{2}\frac{1}{\displaystyle \tan\frac{z}{2}}=\frac{iz}{2} +f(iz)}

が、得られた。太郎さん、ここからどうするの?」

私「みんな良く頑張った。ここから、更に技巧的になる。まず、{\displaystyle \frac{z}{2}} を、{x} とすると、

{x \cot x=x i +f(2ix)}

となるな。再び、変数を {z} で表すことにして、

{z \cot z=zi +f(2iz)}

であって、昨日求めたことにより、

{\displaystyle f(z)=1-\frac{z}{2}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^nB_n}{2n!} z^{2n}}

であったから、一気に、

{\displaystyle z \cot z=zi +f(2iz)=zi +1-\frac{2iz}{2}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^nB_n}{2n!} (2iz)^{2n}}

というところまで、来る。この右辺を、整理する。{i^2=-1} だから、

{\displaystyle z \cot z=zi +f(2iz)=zi +1-\frac{2iz}{2}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^nB_n}{2n!} i^{2n}(2z)^{2n}}

で、{i^{2n}=(-1)^n} となるから、式の前の方も変形して、

{\displaystyle z \cot z=zi +f(2iz)=zi +1-iz-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^nB_n}{2n!} (-1)^n(2z)^{2n}}

{zi} は、キャンセルし、{(-1)^n} も、ふたつあるので、偶数乗なので、{1} 。それで、

{\displaystyle z \cot z=1-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_n}{2n!} 2^{2n}z^{2n}}

となるので、纏めると、

{\displaystyle z \cot z=1-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{2n}B_n}{2n!} z^{2n}}

となる。これを、ベルヌーイ数を、実際入れて、計算すると、

{\displaystyle z \cot z=1-\frac{\displaystyle 4 \cdot \frac{1}{6}}{2}z^2 -\frac{\displaystyle 16 \cdot \frac{1}{30}}{24}z^4+\cdots}

であるから、

{\displaystyle z \cot z=1-\frac{1}{3}z^2 - \frac{1}{45}z^4+\cdots}

と、具体的に、求まる」

麻友「このテイラー展開で、ベルヌーイ数が、現れた。一方、別な方法で、テイラー展開すると、リーマンゼータ関数が現れるのよね」

私「そうだ。だが、今日は、ポートへ行くことにしたので、今回の投稿は、ここまでにするよ」

麻友「良いことだわ。行ってらっしゃい」

若菜・結弦「行ってらっしゃい」

私「ありがとう」

 現在2020年8月21日10時14分である。おしまい。