数学を悟ってみて（その１８） - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０２０年１２月１１日１７時５２分である。（この投稿は、ほぼ４３４４文字）

麻友「太郎さん。ちょっと、冷えたんじゃない」

私「うん。ヤクルトとかはっ酵豆乳の飲み過ぎとかいう問題でなく、寒いのにエアコンも付けずに、パソコンに向かってたから、冷えたんだな」

若菜「もう、そういう季節ですねえ」

私「麻友さんの、冷え性で、お腹壊すというのは、どうなったの？」

麻友「太郎さんと同じで、ヤクルト飲み始めてから、困らなくなった。ただ、太郎さんも、ヤクルト４００と、ヤクルトのはっ酵豆乳で、毎週１，５８９円。ひとつきに６，３５６円払っているのよね。かなりの出費よね」

若菜「えっ、そんなに、するんですか？」

結弦「お父さん、そんなに、払えるの？」

私「まあ、本来なら、病院が処方してくれる便秘止めだったら、ひとつき５００円もしないんだけど、ヤクルトって、美味しいし、お菓子の積もりで、飲んでいる」

麻友「出納帳見たら、１日に、ワンダモーニングショットも２缶飲んでる。安い自動販売機でも、１００円する。これも３０日で、６，０００円。私のために、ひとつき１２，０００円以上、貢いでくれていながら、イヤミのひとつも言わない。ファンとしても、模範的よね」

私「ワンダモーニングショットは、飲まないと、眠気が覚めないからという、切実な問題もある」

若菜「お父さんには、お母さんは、どう映っているのでしょうね」

私「実はね、１２月８日に、駅ビルのくまざわ書店で、面白い本を、見つけたんだ」

結弦「どんな本？」

私「中学生や高校生に、生物を教えるときに、今のような、大腸菌だのショウジョウバエだのを、教えるんじゃなくて、ヒトのことを、教えようという、オランダの教科書を訳した本なんだ」

著者は分からない。編者はサリー・ヒル『１４歳からの生物学』（白水社）

14歳からの生物学:学校では教えてくれない〈ヒト〉の科学

発売日: 2020/08/29
メディア: 単行本（ソフトカバー）

麻友「本当に、太郎さん、勉強好きよね」

若菜「面白いというのは？」

私「『理想的な体って、どんなものだろう？』という問いかけがあって、写真やテレヴィで観る、女優さんや俳優さんの体型というのは、カメラマンや放送局が、もの凄く修正を加えているから、決して当てにしないように。と書いてあって、美人の女優さんの隣に、これが、修正前ですと言って、男の人みたいな女の人の写真が、載ってるんだよ」

麻友「太郎さん。それは、面白いで片付けていい、問題ではないわよ。私の写真集だって、テレヴィでだって、コンサートでだって、もの凄くお化粧もしているし、修正も入っているのよ。その私を見て、太郎さんは好きになっているのよ」

若菜「可哀想ですが、これが、現実なんです」

私「そう。そのことは、現実だ。だけど、言わせてもらうなら、私は、シティ・ハンターの冴羽獠、顔負けの女好きなんだよ。必ず顔で選んでいるわけではないが、麻友さんを好きになったのは、最初は、写真だった。それは、認める。だけど、麻友さんを好きになって以来、私は、２３歳くらい若返った。２０１４年の１０月に、中島みゆきの『誕生』で、

♪リメンバー、けれどもしも、思い出せないなら、わたし、いつでも、あなたに言う、生まれてくれて、ウェルカム。

という歌詞に打たれて、

『私も、ウェルカムと言って欲しい』

と、心から思った。『ＳＯＮＹ許せぬと書きたかったが１』の投稿は、冗談ではない」

私「１１月に精神科に入院して、２０１５年１月１５日に退院してきて、非常な躁状態だった。何でもできそうな勢いがあった。ウェルカムと言ってもらえた気分だった。その私に、決定的な目標をくれたのが、麻友さんだったんだ。もし、写真が、魅力的だった、というだけだったら、５年も好きでいる、なんて、有り得ない。ただ、麻友さんのファンの人のために、言っておくと、麻友さんは、ＡＫＢ４８にいたときも含めて、１度として、私に、『好きよ』とか、『付き合いましょう』とか、『結婚しましょう』ということは、言っていない。『アイドルの鑑、まゆゆ』は、例え今後私と結婚しても、恥ずかしいことは一切していない、ダイヤモンドだ」

若菜「女の人を、口説くっていうのは、こうやるんですねえ。勉強になります」

私「若菜、そう言うことだから、私に取っての現実は、麻友さんが、そばに来てくれるというものなんだ」

若菜「だったら、数学やりましょうよ。お父さんの一番の武器は、数学なんですから」

私「今日は、時間があるから、若菜が開けてしまった、パンドラの箱を、なんとかしよう」

麻友「えっ、ちょっと、ちょっと。どういうことを、やるの？」

私「『数学を悟ってみて（その１０）』で、若菜が口走った、『この、 ${\cos{z},\sin{z}}$ は、 ${(\cos{z},\sin{z})}$ としたとき、点 ${(x,y)=(\cos{z},\sin{z})}$ は、本当に、私の円の式、 ${x^2+y^2=1}$ を、満たすんでしょうかね？』という言葉だよ」

若菜「 ${\pi}$ を求めたときの感じで、どうやったらいいか、ちょっと分かりました。両側から、挟めばいいんですよね」

私「おお、成長しているではないか」

結弦「 ${\cos x}$ と、 ${\sin x}$ は、

$C_n(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(2k)!} z^{2k}=1-\frac{1}{2!} x^2+\frac{1}{4!} x^4-\frac{1}{6!} x^6 \cdots +(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$=1-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{24} x^4-\frac{1}{720} x^6 \cdots +(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$S_n(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} z^{2k+1}=\frac{1}{1!} x -\frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 \cdots +(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$= x -\frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{120} x^5 -\frac{1}{5040} x^7 \cdots +(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

と、定義して、これらは、 ${n=0,1,2,\cdots}$ で、定義されているものとする。 ${n}$ が、無限大でも、収束するのだから、有限の、 ${n}$ でも、和が求まるのだったね」

若菜「そう。こうすると、

$\cos x=\lim_{n \rightarrow \infty} C_n(x)=1-\frac{1}{2!} x^2+\frac{1}{4!} x^4-\frac{1}{6!} x^6 \cdots$

$\sin x=\lim_{n \rightarrow \infty} S_n(x)=x -\frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{120} x^5 -\frac{1}{5040} x^7 \cdots$

と、改めて、精密に定義できるということだった」

麻友「ここで使うために、わざわざ遠回りしたのね」

私「そうだ。 ${S_n(x)}$ と、 ${C_n(x)}$ という級数を、定義した。これは、収束するのだから（収束半径、無限大だったね）、２項ずつ、まとめて和を取ることにしても、問題はない。つまり、 ${S_{2n}(x)}$ と、 ${C_{2n}(x)}$ としても、 ${n \rightarrow \infty}$ の極限は、同じのはずだね」

若菜「なんか、段々技巧的になってきましたね」

私「これを、どうしても証明しようと思うと、数学の証明も技巧的になる」

結弦「目標は、 ${(\sin x)^2+(\cos x)^2=1}$ を、証明することだ」

私「そこで、 ${r_n(x):=(S_{2n}(x))^2+(C_{2n}(x))^2}$ と、置くことにする」

麻友「分かった。 $\lim_{n \rightarrow \infty} r_n(x)=1$ を、証明するのでしょう」

私「まさにそうだよ。さすが、特待生」

麻友「でも、もう２１時２８分で、太郎さん、眠そう。明日にしたら？」

私「パンドラの箱から出てきたものは、やっぱり容易には、回収できなかったな」

若菜「でも、最近やっていることは、お父さんが京都から帰ってきた後、２００４年頃、築いていた数学なんでしょう。説明のしようによっては、私達にも、分かることなんですね」

私「今、これだけは、取り敢えず認めて！　といって、高度なことを、説明するというのは、数学を教える上で、大切な手法だ。そもそも、小学校でも、『円周率が、３．１４というのだけは、取り敢えず認めて！』と言って、算数を教えている。だが、方法だけ教わったことを、『これに関しては、まだ統一的見解が取れていないんだ』と、保留をつけて、覚えている人と、ちゃらんぽらんの人では、持っている数学の豊かさが、全然違う」

結弦「お母さんと僕達に、豊かな数学的素養を育ませてくれる。そういう講義をしてくれているときの、お父さんの顔は、井上芳雄さんにも勝とも劣らない、いい顔しているんだけどな」

麻友「寝ましょ。おやすみ」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

私「おやすみ」

　現在２０２０年１２月１１日２２時０４分である。おしまい。