『数学』というゲーム（その８） - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０１９年８月８日１６時３６分である。

麻友「ちょっと投稿が、止まってたわね」

私「通院があったのと、『ＡＫＢ００４８　ｎｅｘｔ　ｓｔａｇｅ　ｖｏｌ．３』を、観たりしていたからね」

麻友「ちょっと、恥ずかしくもあるけど」

私「『ＡＫＢ００４８』、すっごく面白いよ。私、麻友さんのために、ＡＫＢ４８のこと、色々調べてあったから、それぞれのメンバーの役割とかも分かって、意味が通じて、楽しめた」

麻友「でも、『３型目渡辺麻友』は、最初から、気付くべきなのよ。私が、サイボーグなのは、有名なんだから」

私「ああ、そうだったのか」

私「読んでいる人のために、説明しておくと、『ＡＫＢ００４８』というアニメの中で、ＡＫＢ４８のオリジナルのメンバーの名前を襲名したメンバーというのが出てくるのだが、５代目高橋みなみ、１０代目宮澤佐江、９代目大島優子などの中に、３型目渡辺麻友が、混じっている。なぜ、３『型』目なのか、ということを、話題にしていたのである。麻友さんは、ＡＫＢ４８の現役時代、特に初期、余りしゃべらないので、ＣＧ（シージー、コンピューターグラフィック）とか、アイドルサイボーグと、呼ばれていた。本人もそれを喜んでいたので、すっかり定着していたという前提があるのである」

麻友「太郎さん。このブログを、出版でもするつもり？　そんな説明いらないわよ」

私「このブログは、私のメモ代わりにもなっている。関係する情報を、書いておくのは、後々重要なんだ」

麻友「それでは、ご自由に」

私「さて、 ${e}$ と ${\pi}$ の超越性の証明が、延び延びになっていた。今日は、 ${e}$ の超越性を、証明しよう。麻友さんは、見ていって、１変数の微分積分しか使っていないことを、見届けて欲しい」

麻友「つまり、『微分・積分入門』だけで、理解できるかどうかね」

私「そう」

　 ${e}$ の超越性

　さて，無理性からこれよりもっとわかりにくい超越性に進むことにする．Hermite のもともとの証明は，Weierstraß, Hilbert, Hurwitz, Gordan らによって簡単化された．ここでは最も簡単化されたものを与える．（Lindemann の定理の証明の場合も同様である．）

　６．４　定理　（Hermite）

　実数 ${e}$ は超越数である．

　証明

　 ${e}$ を超越数でないと仮定しよう．そうすれば

${a_me^m+\cdots +a_1e+a_0=0}$

である．ここで一般性を失うことなく，すべての ${i}$ に対して ${a_i \in \mathbb{Z}}$ かつ ${a_0 \neq 0}$ と仮定してよい．任意の素数 ${p}$ に対して

$f(x)=\frac{x^{p-1}(x-1)^p(x-2)^p \cdots (x-m)^p}{(p-1)!}$

と定義する． ${f(x)}$ は ${x}$ の ${mp+p-1}$ 次の多項式である．さて

${F(x)=f(x)+f'(x)+ \cdots + f^{(mp+p-1)}(x)}$

とおく．ここで， ${f^{(mp+p)}(x)=0}$ であることに注意しよう．そうすれば

$\frac{d}{dx} \{e^{-x}F(x) \}=e^{-x} \{F'(x)-F(x) \}$

　　　　　　　 ${=-e^{-x}f(x).}$

よって，任意の ${j}$ に対して

$a_j \int_0^j e^{-x} f(x)dx=a_j \biggl[-e^{-x}F(x) \biggr]_0^j$

　　　　　　　　　 ${=a_jF(0)-a_je^{-j}F(j).}$

両辺に ${e^j}$ をかけて ${j=0,1,\cdots ,m}$ にわたって和をとれば、 ${e}$ の満たすと仮定した方程式から

$\sum_{j=0}^m \biggr(a_je^j \int_0^j e^{-x} f(x) dx \biggl) =F(0) \sum_{j=0}^m a_je^j -\sum_{j=0}^m a_j F(j)$

　　　　　　　　　　　　　 $=-\sum_{j=0}^m \sum_{i=0}^{mp+p-1} a_jf^{(i)}(j)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$

を得る．

　さて各 ${f^{(i)}}$ は整数であり，この整数は ${j=0}$ と ${i=p-1}$ の場合を除いて ${p}$ で割り切れることを以下に示そう．再び Leibniz の公式を用いる． ${j \neq 0}$ のときに現れる項のうち ${0}$ でないものは，因子 ${(x-j)^p}$ をちょうど ${p}$ 回微分した形のものを含む項だけである． ${p!/(p-1)!=p}$ であるから，そのような項はすべて ${p}$ で割り切れる整数である．除外した ${j=0}$ の場合の項は ${i=p-1}$ のときだけ ${0}$ でなく，そのときは

${f^{(p-1)}(0)=(-1)^p \cdots (-m)^p}$

となる．それゆえ， ${(1)}$ の値はある ${K \in \mathbb{Z}}$ に対して

${Kp+a_0(-1)^p \cdots (-m)^p.}$

ここで， ${p> \max (m,|a_0|)}$ ならば整数 ${a_0 (-1)^p \cdots (-m)^p}$ は ${p}$ で割り切れない．よって十分大きな素数 ${p}$ に対しては ${(1)}$ の値は ${p}$ で割り切れない整数で、したがって ${0}$ ではない．

　そこで積分を評価しよう． ${0 \leq x \leq m}$ のときは

${|f(x)| \leq m^{mp+p-1}/(p-1)!}$

であるから

$\biggl|\sum_{j=0}^m a_je^j \int_0^j e^{-x} f(x) dx \biggr| \leq \sum_{j=0}^m |a_je^j| \int_0^j \frac{m^{mp+p-1}}{(p-1)!} dx$

　　　　　　　　　　　　 $\leq \sum_{j=0}^m |a_je^j| j \cdot \frac{m^{mp+p-1}}{(p-1)!}$

これは ${p \rightarrow \infty}$ のとき ${0}$ に収束する．

　しかしながらこれは矛盾である．したがって ${e}$ は超越数である．

　証明終わり

麻友「これが、Hermite の証明？　なんて読むの？」

私「これは、数学者は通常、エルミートと読む」

麻友「あちこちの式にあるエスの長いのは、積分の記号だったわね。確かに、『微分・積分入門』を読めば、分かるのかも知れないわね」

私「先日、姪が、実家に来ていたとき、私に問題を出してきた」

麻友「どんな問題？」

私「一応数学だけど、パズルのようにして解く問題で、－２１＝５＋３　というのが、デジタルの文字のように書いてあって、ここから一本だけ棒を動かして良いけど、長さは変えて良いけど向きは変えては駄目。そうやって、等式が成り立つようにせよ、というのが、問題。デジタルの文字というのが、分かるように書くと、

　　　　　ー　　　　　　　ー　　　　　ー
　　　　　　　｜　｜　　｜　　　　　　　｜
　　ー　　ー　　　｜＝　　ー　　＋　　ー
　　　　｜　　　　｜　　　　　｜　　　　｜
　　　　　ー　　　　　　　ー　　　　　ー

というのが、問題」

麻友「太郎さん。どうしたの？」

私「３分ほど考えて、左辺の１を右辺に持っていって、

ー２＝ー５＋３

としたら？　と聞いてみた」

麻友「向きを、変えてはいけないんじゃ、なかった？」

私「姪に、その点を指摘された。さらに５分ほど考えて、先日姪の持っていた、高校の数Ⅰの教科書に、合同式が載っていたのを思い出し、

２１≡５＋３　（ｍｏｄ１３）

というのは？　と、聞いてみる」

麻友「そんなの、私も、習ってないわよ。でも、あ、思い出した。この間、暗号のとき、出てきたわね。今の高校生、合同式なんて、習っているのかしら？」

私「姪は、『合同式なんて、知らない』と言った。結局、私は、解けなかったのだ。姪は、自分のオリジナルだと言っていた。そばで見ていた母が、姪に、『あの言葉は、おばあちゃん忘れちゃってたのよ』と、言った瞬間、『等式で、母が忘れるような言葉？　それは、絶対値しかないだろう』と、閃き、｜－２｜＝５－３　が、答えだと分かった。あのまま、１時間考えていても、解けなかっただろう」

麻友「それが、正解だったの？」

私「うん。まあ、もう遠からず、私の解けない問題を、出してくることだろう」

麻友「次回は、いよいよ、 ${\pi}$ の超越性ね」

私「『数学』というゲームを、楽しもうとする人が、一人でも増えるように、きちんと書こうと思う」

麻友「ほとんど、分からなくても、なんか凄いことができた、というのは、心地よいものね」

私「そう言ってもらえると嬉しい。今日の証明で、何度も絶対値が、出てきていたので、合わせて、記憶に留めておいて欲しい」

麻友「じゃあ、おやすみ」

私「おやすみ」

　現在２０１９年８月８日２１時４４分である。おしまい。