現在２０２０年３月７日７時２９分である。
麻友「太郎さん。今日は、早起きね」
私「昨日、フラフラで、２２時半頃寝たから、ぐっすり眠れて、今朝５時２２分に、起きられて、土曜日だから、新聞買ってきた」
私「飽きちゃって、もう解いてなかったんだけど、先週、半年ぶりくらいで、レヴェル★★★★★のを、消しゴムを使わず、可能性も書き上げず、解いたら、２時間ちょっとかかってしまった。刃物はいつも研いでないと、切れなくなる」
若菜「お父さんでも、そうですか。数学も、武器を磨いてないと、駄目なんでしょうね」
結弦「それはそうと、昨日、お父さん、
から始まって、 での証明が、１５行に渡って、あって、
と書いてたけど、眠くなかったら、１５行全部書きたかったんじゃない？」
私「見てくれるかい？」
結弦「そのための、ブログだ」
私「まず、何を仮定して、何を、導くのかを、明らかにしよう。
の公理から、必要なのは、次の３つ、
公理(X.空集合の存在)
要素を１つも含まないクラスが存在する。これは、後の無限公理により、集合となる。
厳密には、この公理は、後の、無限公理から導ける。 の存在を明示するため、公理に加えた。
と、
公理(VIII.補集合の存在(クラスでも良い))
集合の補集合が、クラスとなることもあるし、クラスの補集合が、クラスとなることもある。『補クラス』とか『補部類』という言葉が言いにくいので、『補集合』に統一することにした。補集合と言っていても、クラスのこともあり得るとする。
と、
公理(I.集合になるための十分条件)
これは、以下のものと同値である。自分を要素とするクラスがあれば、その自分は集合だという公理である。
の３つの仮定から、
を、証明しようと言うんだ。
記号を解読すると、空集合が、存在するということと、どんな集合にも、補集合（集合とは限らず、補クラスのようなものも）が、存在するということと、何らかの集合かクラスの元となるものは、皆、集合である、ということから、『すべての集合を元とし、集合のみを元とするクラスが存在する』、ということを、導くんだ。
要するに、空集合の補集合は、すべての集合を元として含むクラスだ、ということなんだよ」
結弦「なんだ、それだけか。ひとことで言えてるじゃないか」
私「それが、 で、きちんと証明できるということを、確かめるんだ。始めるぞ。ただし、空集合の存在
で、
が、小文字だということが、効いてくる。
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小文字で書いた場合は、上のように、大文字で集合であるという条件を付けて書いたものの、省略であるという約束があるのである（BGsummary.pdf の 2.1.16定義(小文字で表した場合)参照）」
私「それでは、証明」
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補集合の存在公理───────────────────────
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証明終
私「正直言って、途中でやめて、ノートをスキャンしようかと思ったけど、スペードやクラブのマークを付けたりして、楽しんで、なんとか１１時間くらいかけて、証明を 化した。３や４の番号が付いているところは、一番難しい、
除去 の推論を、している部分である」
結弦「気安く、見てあげるためのブログだ、なんて言って、お父さん大変だったんだね」
私「完全には、形を整えられていないけど、数式の入った図を書くというのは、苦労させられるんだ」
麻友「これで、証明なのね。太郎さんは、『現代論理学』を読ませて、私にもこういう証明を、読めるようにして、さらには、書けるようにさせようと、企んでいるのね。これは、無理よ」
私「今は、見るだけで、恐ろしいだろうが、一度このテクニックを身に付けると、数学の論理的な思考が、今の場面で、筋が通っているかどうか、もの凄く肌に感じて分かるんだ」
若菜「でも、お父さんも、疲れたみたい。今日は、『相対論への招待（その２４）』、ここで、お開きにしませんか」
私「じゃあ、解散」
麻友「場合によっては、ノートスキャンでも、いいわよ」
私「いや、今日は、全部、 で書けるかどうか、試してみたかったんだ。こんなに時間がかかるとは、思わなかったが、でも、完成したのは、嬉しかった」
麻友「じゃあ、おやすみ」
私「おやすみ」
現在２０２０年３月７日２０時５４分である。おしまい。
