相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。ブログの先頭に戻るには表題のロゴをクリックしてください

相対論への招待(その29)

 現在2020年3月21日3時05分である。

麻友「随分早いじゃない」

私「1時31分に、目が覚めちゃったんだ」

麻友「今日は、歯医者さんへ行くんだから、少し昼寝して行きなさいよ」

私「うん」

結弦「さて、後、4日になったのだから、マジに、相対論、やらないと」

若菜「お父さんは、オリジナルのスキャンした原稿にないことを、最近話していますね」

私「スキャンした原稿の、4枚目、5枚目では、私に取っては、当たり前と思えることを、書いている。でも、麻友さんたちに取って、決して明らかでは、ないだろう。そこで、微分を使って、そのギャップを埋めることにしたんだ」

結弦「原稿を、見せて」

私「取り敢えず、4枚目を、見せよう」


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 {t'}系と{t''}系は、{A}{B}の点で、{t}系から見て、同じ速度。{t'}系,{t''}系から見て、{A}{B}は、同時刻。

 コノライン上の点は、加速系で同時刻。

 最初からそのときまで、ずっと同時刻。

 相対論では、同時刻ラインは傾くので、

などとはならない。

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若菜「新しく、{t''} 系というのが、出てきましたね」

結弦「3回前に出て来た、双曲線が、バンバン出てる」

麻友「えっ、この薄い曲がってる線は、双曲線なの?」

私「そのつもりなんだ。はっきり書いてないけど、双曲線は、

{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}

が、標準的な形だけど、光の速さを、傾き1としているので、いくら加速しても光の速さになれないということで、傾き1が、動く物体の漸近線とする。そうすると、{a=b} となる。私は、初め、原点から {b} の距離に、麻友さんがいて、長さ {a} の電車の、最後端にいるものとしている」

結弦「じゃあ、今度は、{t'} 系というのが、お母さんのパスなの? もう直線じゃないね。{A} が、お母さんのパス上の点だね」

麻友「ウッ、一気に難しくなってきた。{t'} 系が、私で、{t''} 系が、電車の先端。このグラフだと、確かに、電車の長さが、縮んでいくように見えるけど、信じて良いのかしら?」

私「そう。例え教科書に書いてあっても、疑うくらいの気概がなければ、科学なんて、やっていけないぞ」

麻友「じゃ、先生、質問!」

私「なんだい?」

麻友「『{A}{B}の点で、{t}系から見て、同じ速度』って書いてあるのは、どうやって、分かったのですか?」

私「こういうことなんだよ。私は、グラフ書いていて、ああ、曲線の傾きが同じ(厳密には、接線の傾きが同じ)だな、同じ速度だ。と、慣れているから感覚的に分かっちゃうけど、普通の人に、それは、要求できない。ちゃんと、説明してあげないといけない」

若菜「どうやって、説明するのですか?」

私「なんで、3回に渡って、数学の話を、メインにしてきたと思う?」

結弦「あっ、微分積分

私「そうだ。速度ということは、曲線の傾きなんだよ。厳密には、その瞬間の速さが、接線の傾きなんだ」

麻友「確かに、2次関数の接線の傾きを、判別式がゼロとして求めたから、その説明は分かる」

私「双曲線の一般型

{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}

で、{a=b} として、

{\displaystyle \frac{x^2}{b^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}

とする。これが、麻友さんの世界線

 また、長さ {a} の電車の先端は、{b} のところが、{a} 足されて、{a+b} となり、

{\displaystyle \frac{x^2}{(a+b)^2}-\frac{y^2}{(a+b)^2}=1}

が、世界線となる。世界線、つまり、パスね」

結弦「この場合、{A}{B} は、原点を通る、傾き {v} の直線と、双曲線の交点と、なってる。と、言うことは、また連立方程式かな?」

私「それでは、傾きを求めるのに、また判別式を使わなければならない。スキャン原稿にない、新しいものを、教えただろう」

若菜「あっ、ハイパボリックコサインと、ハイパボリックサインですね」

私「そうだ。この2本の双曲線上の点は、どう表せる?」

結弦「

{(x,t)=(b \cosh t',b \sinh t')} と、{(x,t)=((a+b) \cosh t'',(a+b) \sinh t'') }

じゃないかな」

私「そうだな。そうだとすると、原点を通る直線との交点だから、麻友さんの世界線との交点、電車の先端の世界線との交点は、

{\displaystyle \frac{b \sinh t'}{b \cosh t'}=\frac{(a+b) \sinh t''}{(a+b) \cosh t''} }

でなければ、いけないな」

麻友「どうして?」

私「これが、原点を通る直線の傾きだからだよ。同じ直線上にあるためには、{x} 座標と、{y} 座標の比が、同じになるだろう」

麻友「ああ、{t} 座標を、{x} 座標で、割ったのね」

若菜「これは、約分できますね。

{\displaystyle \frac{ \sinh t'}{ \cosh t'}=\frac{ \sinh t''}{ \cosh t''} }

そうだとすると、もし、1対1の関数だったら、{t'=t''} と、なりそうですね」

私「実はなる。三角関数のときのように、

{\displaystyle \tanh x =\frac{\sinh x}{\cosh x}}

と定義し、ハイパボリックタンジェントという。これは、単射な関数だ」

麻友「単射って?」

私「違うところから、同じ所に、2つ以上行かない関数だよ。1対1の関数とも言う。どうも、麻友さんたち、双曲線関数のグラフが、頭に浮かんでないな。グラフ見せちゃおう」

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結弦「ちょっと待って、直線の傾きが、ある傾きのとき、具体的には、{\tanh t} のとき、{A}{B} は、全く同じ、{t=t'=t''} というパラメーターの点にある。だから、傾きも、同じなんじゃないかと、言えるんじゃない?」

私「本当は、言えるんだけど、実際確かめるというのも、意味のあることだ」

若菜「双曲線の接線の傾きを、求めるのですか? でも、{y=f(x)} という形をしていませんから、求めにくいですね」

私「ちょっと、荒っぽいけど、こうやるんだ。{\displaystyle \frac{dy}{dx}} を、求めたいんだろう。{x} が、ちょっと増えたとき、{y} が、どれだけ増えるか知りたいんだから。一方、{(x,y)=(b \cosh t',b \sinh t')} だから、

{\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt'} \frac{dt'}{dx}=\frac{dy}{dt'} \frac{1}{\displaystyle \frac{dx}{dt'}}}

と、計算できる形に持っていく」

麻友「ハイパボリックサインと、ハイパボリックコサインの微分は、知らない」

私「どんどん、開拓するんだよ。まず、{e^{-x}} は、定義によると、どうなる?」

結弦「

{\displaystyle e^{-x}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}(-x)+\frac{1}{2!}(-x)^2+\frac{1}{3!}(-x)^3+\frac{1}{4!}(-x)^4+\cdots}

だから、

{\displaystyle e^{-x}=\frac{1}{0!}-\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\cdots}

となるな」

私「それを、微分すると?」

結弦「これを、微分するの?

{\displaystyle (e^{-x})'=-1+\frac{1}{1!}x-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots}

だから、

{\displaystyle (e^{-x})'=-\biggl( 1-\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2-\frac{1}{3!}x^3+\cdots \biggl)=-e^{-x}}

だ」

若菜「わかった。

{\displaystyle \cosh t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}}

{\displaystyle \sinh t=\frac{e^t-e^{-t}}{2}}

だったから、

{\displaystyle (\cosh t)'=\frac{e^t-e^{-t}}{2}=\sinh t}

{\displaystyle (\sinh t)'=\frac{e^t+e^{-t}}{2}=\cosh t}

となって、さっきの微分ができる」

麻友「これね。本当は、{xt}-平面の話だけど、今だけ、{xy}-平面と思って、考えているのよね。

{\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt'} \frac{dt'}{dx}=\frac{dy}{dt'} \frac{1}{\displaystyle \frac{dx}{dt'}}}

{\displaystyle =\frac{(b \sinh t')'}{(b \cosh t')'}=\frac{(\sinh t')'}{(\cosh t')'}=\frac{\cosh t'}{\sinh t'}=\frac{1}{\displaystyle \frac{\sinh t'}{\cosh t'}}=\frac{1}{\tanh t'}}

となった。実際は、この逆数が、本当の速さよね。時間軸を縦に取っているのだもの」

私「その通りだ」

麻友「太郎さん、気になっているんだけど、微分を表すのに、『{'}ダッシュ』を、使うじゃない」

私「うん」

麻友「でも、私の世界線を表すとき、{t'} とか、書いてるけど、これは、{t}微分ではないわよね」

私「疑問に思ったとき、早いうちに解決しておくことは、良いことだ。麻友さんの言っているように、『{'}ダッシュ』には、色々な使われ方がある。一般相対性理論では、記号がなくなって、添え字に『{'}ダッシュ』付けたりすることもある。楽しみにしてて。この場合、{t'}{t}微分ではない」

麻友「数学や物理学は、奥が深い」


私「さて、パラメーターが、{t'} のとき、{(x,y)=(b \cosh t',b \sinh t')} の点での双曲線の接線の傾きが、{\displaystyle \frac{1}{\tanh t'}} だと、分かった。麻友さんが言っているように、本当は、{y}-軸が、{t}-軸なのだから、静止系で、見た場合、{\displaystyle \frac{dx}{dt}} が、速さであり、これは、{\displaystyle \frac{dy}{dx}} の逆数だ。このことと、以前、その物体の同時刻ラインは、自分の世界線を、傾き1の光の世界線を対称の軸として、反転させたものだ、ということを、導いたのを、思い出して欲しい(『相対論への招待(その21)』辺りでのことだ)」

若菜「えっ、でも、あのときは、等速度の運動だったから、あんなことが、できたのであって、加速してたら、同時刻ラインなんて、引けないと思います」

私「常に、速度が変わっているのだから、同時刻ラインを、どこまでもは、引けない。でも、自分のそばのものを、

『これは、今、ここに、ある』

と、触れるということは、そこまでなら、同時刻という概念が、成立していると、言えないだろうか?」

麻友「あー、なんか、太郎さんの言葉のマジックに、丸め込まれているようだけど、確かに、空間的にそばのものならば、同時刻を定義できそう」

若菜「お母さんが、レフェリーなんですよ。簡単に、丸め込まれちゃ駄目です」

私「今回のように、双曲線の場合、第1象限の中だけでなら、同時刻ラインが、引ける。ただし、座標の原点は、双曲線のどの点とも、同時刻みたいに、なってしまうから、除外しなければ、ならない」


結弦「それは、いいんだけどさあ、スキャン原稿、もういらないの?」

私「もう一度、振り返っておこうか。


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 {t'}系と{t''}系は、{A}{B}の点で、{t}系から見て、同じ速度。{t'}系,{t''}系から見て、{A}{B}は、同時刻。

 コノライン上の点は、加速系で同時刻。

 最初からそのときまで、ずっと同時刻。

 相対論では、同時刻ラインは傾くので、

などとはならない。

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若菜「一応、この図の説明を、していたんですね。ただ、双曲線関数を使ったから、お父さんが証明なしに、『この点とこの点は同時刻』とか、『ずっと同時刻』などと言っていたのが、証明付きで、表されたのですね。後、気付いたんですけど、{\displaystyle \tanh t'} って、速さ {v} というか、速さを光速度で割った、{\displaystyle \beta=\frac{v}{c}} ですね。つまり、{\displaystyle \frac{v}{c}=\beta=\tanh t'} なんですね。最初、時刻 {0} に止まっていたとき、ハイパボリックタンジェントのグラフから、{\displaystyle \tanh 0=0} で、ちゃんと合ってますし、どんなに {t'} が、大きくなっても、{1} を、越えない。つまり、光速度を越えない。というのも、合ってますね」

結弦「最後の絵の、

{A,B} で、同時刻ラインの傾きが同じであることから、加速系の {t} 系に対する速さが、{A,B} で同じだと分かる』

という言葉も、お父さんはこの原稿書いたときは、証明しなかったんだよな。でも、今日のパラメーターを使った微分計算で、確かに {A,B} で、接線の傾きは等しく、{\displaystyle \frac{1}{\tanh t'}=\frac{1}{\beta}} だと数値的にも分かった。お父さんの脳が、復活してきているのが、読み取れる」


私「もう、スキャン原稿5枚目は、説明いらないな」



双曲線の一般型{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} =1}

Aを通る双曲線{\displaystyle \frac{x^2}{b^2}-\frac{y^2}{b^2} =1}

Bを通る双曲線{\displaystyle \frac{x^2}{(a+b)^2}-\frac{y^2}{(a+b)^2} =1}

 直線{y=vx}上の点は、同時刻になっている。

{\left\{ \begin{array}{2} \displaystyle \frac{x^2}{b^2}-\frac{y^2}{b^2} =1\\ y=vx \end{array} \right.}

連立方程式から、同時刻な点は、

{\displaystyle (x,y)=(\frac{b}{\displaystyle \sqrt{1-v^2}},\frac{bv}{\displaystyle \sqrt{1-v^2}})}

である。


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若菜「『加速系にとって {A,B} は、常に同時刻に、同じ速さなのだから、同じ加速度で、加速していると言える』というのは、良さそうですね」

結弦「『それなのに曲線の形が違うのは、それぞれの固有時間の進み方が違うからである』は、固有時間というものが、まだ分かっていないから、見過ごせないな」

麻友「太郎さん。説明いるわよ」

私「固有時間というのは、それぞれの人やものが、感じている、自分自身の時間なんだ。ただ、そういうことを言うと、美人のガールフレンドと過ごした時間は、短く感じたとか、麻友さんなら、『太郎さんのブログは、読んでいると時を忘れる』とか言うように、場合によって長さが変わるのか? と、聞きたいだろう。これは、本当のところは、未解明なのだ。ただ、心でなく、時間が経ってお腹が空いたというような、もっとマクロな大きさのもので、それが感じている時間ということに、なっている。丁寧に数式で説明すると、短い時間 {d \tau} が経ったとき、他の座標系から見て、{(dt,dx,dy,dz)} の時間と空間の動きを自分がしていたとすると、{\displaystyle d \tau=\sqrt{dt^2-dx^2-dy^2-dz^2}} が、自分の過ごした固有時間と呼ばれるものに、なるのだ。この定義には、ミクロな心の動きまでは、現れていないから、好きな人と過ごした時間が、ほんのちょっと短くても、計算できないんだ。本当は、どうなんだろうね」

結弦「つまり、時間の流れ方は、人によって違うから、同じ加速度のはずでも、違ってきうるということでしょ?」

私「そういう、単純なものじゃ、ないんだ。{A} の点と、それと加速している系で、同時刻な {B} の点が、静止系で見ると、時刻が違うんだ。だって、加速系の同時刻ラインは、傾いていただろ」

結弦「あっ、そっかー! 同じように加速してるって言っても、それは、加速している人の見方であって、静止している人から見ると、静止している人にとっての同時刻に、加速している人の体や電車の場所場所で、加速度が違うんだー!」

私「そういうことなんだよ」

麻友「なんか、結弦は、悟ったみたいね」

若菜「なぜ、お父さんが、ここまで、ギチギチ、厳密にやってきたか、分かった気がしました」


麻友「太郎さん。17時の予約なんでしょ。今日は、ここまでにして、行ってきたら?」

私「これで、ローレンツ変換を導ける、見通しも立った。ちょっと、歯医者に行ってくるよ」


 現在2020年3月21日19時03分である。歯医者から、戻ってきた。

麻友「治療してもらってないじゃない」

私「歯医者さんの雰囲気は、ちょっと小さいなとは思ったものの、悪くはなかったんだ。通院している病院というのに、横浜市立みなと赤十字病院精神科と、書いたし、お薬手帳はありますか、というのに渡したから、統合失調症であることは、明らかに分かったはずだ」

麻友「また、太郎さん、バカ正直に」

私「差し歯だったところは、入れ歯にするか、ブリッジにしなければ、ならないと、言われた。そして、値段を聞くと、入れ歯だと8,000円くらいで、ブリッジだと20,000円くらいと、いうことだった。入れ歯だと3回くらいだが、ブリッジだと、まず今の残っている歯の根っこを抜いて、傷が治るのを待って、改めて型を取って、ブリッジとするから、2カ月くらいは、かかると、言われた」

麻友「それで、どうしたの?」

私「『ご覧になって、お分かりのように、精神を病んでいて、働いてないんですね。父母から、お金をもらっているので、20,000円、出せないというほどではないのですが、ちょっと、相談してきます』と言って、帰ってきた」

麻友「それで、いくらだった?」

私「初診料と、レントゲンと、検査で、2,670円だった」

麻友「それで、太郎さんは、どうしたいの?」

私「昨日は痛かったけど、今日は、かなり痛みも引いたので、もうちょっと様子を見て、5年前と同じように、痛くないなら、放っておこうかと」

麻友「そんなことして、後でもの凄く痛くなったら、どうするの?」

私「だって、2万円なんて、Mathematica 基金が、やっと22,800円貯まったって、喜んでいる段階なのに」

麻友「たかみなの貧しさも、痛々しかったけど、太郎さんは、別な意味で、貧しいのよねぇ。その素晴らしい頭で、何かできないの? そうだ、新型コロナウイルスを倒すものを、発明するとか」

私「麻友さんが、『世界の麻友』になれ、とか、私に言われてたときの、麻友さんの心理が分かるよ」

麻友「できるわけないじゃんって?」

私「とにかく、母にメール書くから、この投稿終わりにするよ。あの渡邊先生は、麻友さんの渡邉と、違うから、特に親戚ではないんだよね」

麻友「良く気付いたわね。じゃあ、バイバイ」

私「バイバイ」

 現在2020年3月21日20時14分である。おしまい。